- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共108题
如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC.
(Ⅰ)求证:BE=2AD;
(Ⅱ)当AC=1,EC=2时,求AD的长.
正确答案
证明:(Ⅰ)连接DE,
由于四边形DECA是圆的内接四边形,
所以:∠BDE=∠BCA
∠B是公共角,
则:△BDE∽△BCA.
则:,
又:AB=2AC
所以:BE=2DE,
CD是∠ACB的平分线,
所以:AD=DE,
则:BE=2AD.
(Ⅱ)由于AC=1,
所以:AB=2AC=2.
利用割线定理得:BD•AB=BE•BC,
由于:BE=2AD,设AD=t,
则:2(2-t)=(2+2t)•2t
解得:t=,
即AD的长为.
解析
证明:(Ⅰ)连接DE,
由于四边形DECA是圆的内接四边形,
所以:∠BDE=∠BCA
∠B是公共角,
则:△BDE∽△BCA.
则:,
又:AB=2AC
所以:BE=2DE,
CD是∠ACB的平分线,
所以:AD=DE,
则:BE=2AD.
(Ⅱ)由于AC=1,
所以:AB=2AC=2.
利用割线定理得:BD•AB=BE•BC,
由于:BE=2AD,设AD=t,
则:2(2-t)=(2+2t)•2t
解得:t=,
即AD的长为.
如图,以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E,F两点,∠ACB=60°,则EF=______.
正确答案
2
解析
证明:如图,连接AE,
∵AB为圆的直径,
∴∠AEB=∠AEC=90°
又∵∠ACB=60°
∴CA=2CE
由圆内接四边形性质易得:
∠CFE=∠CBA (由圆内接四边形对角互补,同角的补角相等得到的)
又因为∠C=∠C
△CEF∽△CBA
∴
又∵AB=4
∴EF=2
(几何证明选讲选做题)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.
(1)求证:FB=FC;
(2)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3,求AD的长.
正确答案
(1)证明:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC;
∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC=∠FBC; …2′
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5
(2)解:∵AB是圆的直径,∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′
在Rt△ACB中,∵BC=3,∠BAC=60°,∴AC=3
又在Rt△ACD中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6 …10′
解析
(1)证明:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC;
∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC=∠FBC; …2′
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5
(2)解:∵AB是圆的直径,∴∠ACD=90°
∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′
在Rt△ACB中,∵BC=3,∠BAC=60°,∴AC=3
又在Rt△ACD中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6 …10′
求证:对角线互相垂直的四边形中,各边中点在同一个圆周上.
正确答案
已知:AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC垂直BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
求证:E,F,G,H在同一个圆上.
证明:连接EF,FG,GH,HE,则EH是三角形ABD的中位线,所以:EH∥BD
FG是三角形CBD的中位线,所以:FG∥BD
所以:EH∥FG
同理EF∥AC,HG∥AC
所以:EF∥HG
所以:EFGH为平行四边形
因为AC垂直BD,EH∥FG,EF∥AC
所以:EH垂直EF
所以:EFGH为矩形
所以:E,F,G,H在同一个圆上.
解析
已知:AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC垂直BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
求证:E,F,G,H在同一个圆上.
证明:连接EF,FG,GH,HE,则EH是三角形ABD的中位线,所以:EH∥BD
FG是三角形CBD的中位线,所以:FG∥BD
所以:EH∥FG
同理EF∥AC,HG∥AC
所以:EF∥HG
所以:EFGH为平行四边形
因为AC垂直BD,EH∥FG,EF∥AC
所以:EH垂直EF
所以:EFGH为矩形
所以:E,F,G,H在同一个圆上.
如图,△ABC是内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AB=6,BC=4,求AE.
正确答案
(1)证明:在△ABE和△ACD中,
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线,
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
(2)解:∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x,易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=
又AE•EC=BE•ED EC=6-x
∴4×
∴x=
即要求的AE的长是
解析
(1)证明:在△ABE和△ACD中,
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线,
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
(2)解:∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x,易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=
又AE•EC=BE•ED EC=6-x
∴4×
∴x=
即要求的AE的长是
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