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题型:简答题
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简答题

如图,在△ABC中,CD是∠ACB的平分线,△ACD的外接圆交BC于点E,AB=2AC.

(Ⅰ)求证:BE=2AD;

(Ⅱ)当AC=1,EC=2时,求AD的长.

正确答案

证明:(Ⅰ)连接DE,

由于四边形DECA是圆的内接四边形,

所以:∠BDE=∠BCA

∠B是公共角,

则:△BDE∽△BCA.

则:

又:AB=2AC

所以:BE=2DE,

CD是∠ACB的平分线,

所以:AD=DE,

则:BE=2AD.

(Ⅱ)由于AC=1,

所以:AB=2AC=2.

利用割线定理得:BD•AB=BE•BC,

由于:BE=2AD,设AD=t,

则:2(2-t)=(2+2t)•2t

解得:t=

即AD的长为

解析

证明:(Ⅰ)连接DE,

由于四边形DECA是圆的内接四边形,

所以:∠BDE=∠BCA

∠B是公共角,

则:△BDE∽△BCA.

则:

又:AB=2AC

所以:BE=2DE,

CD是∠ACB的平分线,

所以:AD=DE,

则:BE=2AD.

(Ⅱ)由于AC=1,

所以:AB=2AC=2.

利用割线定理得:BD•AB=BE•BC,

由于:BE=2AD,设AD=t,

则:2(2-t)=(2+2t)•2t

解得:t=

即AD的长为

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题型:填空题
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填空题

如图,以AB=4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E,F两点,∠ACB=60°,则EF=______

正确答案

2

解析

证明:如图,连接AE,

∵AB为圆的直径,

∴∠AEB=∠AEC=90°

又∵∠ACB=60°

∴CA=2CE

由圆内接四边形性质易得:

∠CFE=∠CBA (由圆内接四边形对角互补,同角的补角相等得到的)

又因为∠C=∠C

△CEF∽△CBA

又∵AB=4

∴EF=2

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题型:简答题
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简答题

(几何证明选讲选做题)已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB,FC.

(1)求证:FB=FC;

(2)若AB是△ABC外接圆的直径,∠EAC=120°,BC=3,求AD的长.

正确答案

(1)证明:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC;

∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC=∠FBC; …2′

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5

(2)解:∵AB是圆的直径,∴∠ACD=90°

∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′

在Rt△ACB中,∵BC=3,∠BAC=60°,∴AC=3

又在Rt△ACD中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6  …10′

解析

(1)证明:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC;

∵四边形AFBC内接于圆,∴∠DAC=∠FBC; …2′

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC.…5

(2)解:∵AB是圆的直径,∴∠ACD=90°

∵∠EAC=120°,∴∠DAC=60°,∴∠D=30°…7′

在Rt△ACB中,∵BC=3,∠BAC=60°,∴AC=3

又在Rt△ACD中,∠D=30°,AC=3,∴AD=6  …10′

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题型:简答题
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简答题

求证:对角线互相垂直的四边形中,各边中点在同一个圆周上.

正确答案

已知:AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC垂直BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,

求证:E,F,G,H在同一个圆上.

证明:连接EF,FG,GH,HE,则EH是三角形ABD的中位线,所以:EH∥BD

FG是三角形CBD的中位线,所以:FG∥BD

所以:EH∥FG

同理EF∥AC,HG∥AC

所以:EF∥HG

所以:EFGH为平行四边形

因为AC垂直BD,EH∥FG,EF∥AC

所以:EH垂直EF

所以:EFGH为矩形

所以:E,F,G,H在同一个圆上.

解析

已知:AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC垂直BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,

求证:E,F,G,H在同一个圆上.

证明:连接EF,FG,GH,HE,则EH是三角形ABD的中位线,所以:EH∥BD

FG是三角形CBD的中位线,所以:FG∥BD

所以:EH∥FG

同理EF∥AC,HG∥AC

所以:EF∥HG

所以:EFGH为平行四边形

因为AC垂直BD,EH∥FG,EF∥AC

所以:EH垂直EF

所以:EFGH为矩形

所以:E,F,G,H在同一个圆上.

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题型:简答题
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简答题

如图,△ABC是内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,弦BD∥MN,AC与BD相交于点E.

(1)求证:△ABE≌△ACD;

(2)若AB=6,BC=4,求AE.

正确答案

(1)证明:在△ABE和△ACD中,

∵AB=AC,∠ABE=∠ACD

又∠BAE=∠EDC

∵BD∥MN

∴∠EDC=∠DCN

∵直线是圆的切线,

∴∠DCN=∠CAD

∴∠BAE=∠CAD

∴△ABE≌△ACD

(2)解:∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC

∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4

又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴BC=BE=4

设AE=x,易证△ABE∽△DEC

∴DE=

又AE•EC=BE•ED   EC=6-x

∴4×

∴x=

即要求的AE的长是

解析

(1)证明:在△ABE和△ACD中,

∵AB=AC,∠ABE=∠ACD

又∠BAE=∠EDC

∵BD∥MN

∴∠EDC=∠DCN

∵直线是圆的切线,

∴∠DCN=∠CAD

∴∠BAE=∠CAD

∴△ABE≌△ACD

(2)解:∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC

∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4

又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB

∴BC=BE=4

设AE=x,易证△ABE∽△DEC

∴DE=

又AE•EC=BE•ED   EC=6-x

∴4×

∴x=

即要求的AE的长是

百度题库 > 高考 > 数学 > 圆内接四边形的性质与判定定理

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