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题型: 单选题
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单选题

如图,锐角三角形ABC中,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E,则△ADE与△ABC的面积之比为(  )

AcosA

BsinA

Csin2A

Dcos2A

正确答案

D

解析

解:如图,连接BE.

∵BC为半圆的直径,

∴∠BEC=∠AEB=90°.

∴在直角△ABE中,cosA=

∵点D、B、C、E四点共圆,

∴∠ABC+∠DEC=180°.

∵∠DEC+∠AED=180°,

∴∠ABC=∠AED.

又∵∠A=∠A,

∴△AED∽△ABC,

=

∵S△ADE=AE•AD•sinA,S△ABC=AB•AC•sinA,

∴S△ADE:S△ABC===cos2A.

故选:D.

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题型:简答题
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简答题

(2015秋•安徽月考)如图,圆O的半径为2,等腰△ABC的底边的两端点B,C在圆O上,AB与圆O交于点D,AD=2,圆O的切线DE交AC于E点.

(I)求证:DE⊥AC;

(Ⅱ)若∠A=30°,求BD的长.

正确答案

(I)证明:设AC交圆O于点F,则∠B=∠AFD,∠C=∠ADF,

∵∠B=∠C,

∴∠AFD=∠ADF,

∴AD=AF=2,

∵OD=OF=2,

∴四边形ADOF是菱形,

∴OD∥AC,

∵DE为切线,

∴OD⊥DE,

∴DE⊥AC;

(Ⅱ)作OG⊥BD于点G,则G是BD的中点,

∵OD∥AC,

∴∠BDO=∠A=30°,

∴DG=ODcos30°=

∴BD=2

解析

(I)证明:设AC交圆O于点F,则∠B=∠AFD,∠C=∠ADF,

∵∠B=∠C,

∴∠AFD=∠ADF,

∴AD=AF=2,

∵OD=OF=2,

∴四边形ADOF是菱形,

∴OD∥AC,

∵DE为切线,

∴OD⊥DE,

∴DE⊥AC;

(Ⅱ)作OG⊥BD于点G,则G是BD的中点,

∵OD∥AC,

∴∠BDO=∠A=30°,

∴DG=ODcos30°=

∴BD=2

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题型:简答题
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简答题

正十边形的一个内角是多少度?

正确答案

解:由多边形内角和公式180°(n-2),

∴每一个内角的度数是

当n=10时.

得到一个内角为=144°

解析

解:由多边形内角和公式180°(n-2),

∴每一个内角的度数是

当n=10时.

得到一个内角为=144°

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题型:简答题
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简答题

如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB、FC.

(1)求证:FB=FC;

(2)求证:FB2=FA•FD;

正确答案

解:(Ⅰ)∵AD平分∠EAC,

∴∠EAD=∠DAC.

∵四边形AFBC内接于圆,

∴∠DAC=∠FBC.

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,

∴∠FBC=∠FCB,

∴FB=FC.

(Ⅱ)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD,

∴△FBA∽△FDB.

∴FB2=FA•FD.

解析

解:(Ⅰ)∵AD平分∠EAC,

∴∠EAD=∠DAC.

∵四边形AFBC内接于圆,

∴∠DAC=∠FBC.

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,

∴∠FBC=∠FCB,

∴FB=FC.

(Ⅱ)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD,

∴△FBA∽△FDB.

∴FB2=FA•FD.

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题型:填空题
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填空题

(几何证明选讲选做题)如图,圆O内的两条弦AB、CD相交于P,PA=PB=4,PD=4PC.若O到AB的距离为4,则O到CD的距离为______

正确答案

解析

解:取CD中点M,连接OD、OM、OP、OA

根据圆的性质,OM⊥CD,OM即为O到CD的距离

∵PA=PB=4,即P为AB中点,

∴OP⊥AB,可得OP=4.

Rt△OPA中,OA==4

∵PA=PB=4,PD=4PC,

∴由PA•PB=PC•PD,即42=4PC2,可得PC=2

因此,PD=4PC=8,得CD=10

∴Rt△OMD中,DM=CD=5,OD=OA=4

可得OM==

故答案为:

百度题库 > 高考 > 数学 > 圆内接四边形的性质与判定定理

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