- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共108题
如图,锐角三角形ABC中,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E,则△ADE与△ABC的面积之比为( )
正确答案
解析
解:如图,连接BE.
∵BC为半圆的直径,
∴∠BEC=∠AEB=90°.
∴在直角△ABE中,cosA=,
∵点D、B、C、E四点共圆,
∴∠ABC+∠DEC=180°.
∵∠DEC+∠AED=180°,
∴∠ABC=∠AED.
又∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC,
∴=
.
∵S△ADE=AE•AD•sinA,S△ABC=
AB•AC•sinA,
∴S△ADE:S△ABC==
=cos2A.
故选:D.
(2015秋•安徽月考)如图,圆O的半径为2,等腰△ABC的底边的两端点B,C在圆O上,AB与圆O交于点D,AD=2,圆O的切线DE交AC于E点.
(I)求证:DE⊥AC;
(Ⅱ)若∠A=30°,求BD的长.
正确答案
(I)证明:设AC交圆O于点F,则∠B=∠AFD,∠C=∠ADF,
∵∠B=∠C,
∴∠AFD=∠ADF,
∴AD=AF=2,
∵OD=OF=2,
∴四边形ADOF是菱形,
∴OD∥AC,
∵DE为切线,
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AC;
(Ⅱ)作OG⊥BD于点G,则G是BD的中点,
∵OD∥AC,
∴∠BDO=∠A=30°,
∴DG=ODcos30°=,
∴BD=2.
解析
(I)证明:设AC交圆O于点F,则∠B=∠AFD,∠C=∠ADF,
∵∠B=∠C,
∴∠AFD=∠ADF,
∴AD=AF=2,
∵OD=OF=2,
∴四边形ADOF是菱形,
∴OD∥AC,
∵DE为切线,
∴OD⊥DE,
∴DE⊥AC;
(Ⅱ)作OG⊥BD于点G,则G是BD的中点,
∵OD∥AC,
∴∠BDO=∠A=30°,
∴DG=ODcos30°=,
∴BD=2.
正十边形的一个内角是多少度?
正确答案
解:由多边形内角和公式180°(n-2),
∴每一个内角的度数是
当n=10时.
得到一个内角为=144°
解析
解:由多边形内角和公式180°(n-2),
∴每一个内角的度数是
当n=10时.
得到一个内角为=144°
如图,已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交△ABC的外接圆于点F,连接FB、FC.
(1)求证:FB=FC;
(2)求证:FB2=FA•FD;
正确答案
解:(Ⅰ)∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆,
∴∠DAC=∠FBC.
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC.
(Ⅱ)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD,
∴△FBA∽△FDB.
∴,
∴FB2=FA•FD.
解析
解:(Ⅰ)∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC.
∵四边形AFBC内接于圆,
∴∠DAC=∠FBC.
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,
∴∠FBC=∠FCB,
∴FB=FC.
(Ⅱ)∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD,
∴△FBA∽△FDB.
∴,
∴FB2=FA•FD.
(几何证明选讲选做题)如图,圆O内的两条弦AB、CD相交于P,PA=PB=4,PD=4PC.若O到AB的距离为4,则O到CD的距离为______.
正确答案
解析
解:取CD中点M,连接OD、OM、OP、OA,
根据圆的性质,OM⊥CD,OM即为O到CD的距离
∵PA=PB=4,即P为AB中点,
∴OP⊥AB,可得OP=4.
Rt△OPA中,OA==4
∵PA=PB=4,PD=4PC,
∴由PA•PB=PC•PD,即42=4PC2,可得PC=2
因此,PD=4PC=8,得CD=10
∴Rt△OMD中,DM=CD=5,OD=OA=4
可得OM==
故答案为:
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