圆内接四边形的性质与判定定理
共108题

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圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：单选题

单选题

如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）

AcosA

BsinA

Csin2A

Dcos2A

正确答案

解析

解：如图，连接BE．

∵BC为半圆的直径，

∴∠BEC=∠AEB=90°．

∴在直角△ABE中，cosA=，

∵点D、B、C、E四点共圆，

∴∠ABC+∠DEC=180°．

∵∠DEC+∠AED=180°，

∴∠ABC=∠AED．

又∵∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，

∴=．

∵S△ADE=AE•AD•sinA，S△ABC=AB•AC•sinA，

∴S△ADE：S△ABC===cos2A．

故选：D．

题型：简答题

简答题

（2015秋•安徽月考）如图，圆O的半径为2，等腰△ABC的底边的两端点B，C在圆O上，AB与圆O交于点D，AD=2，圆O的切线DE交AC于E点．

（I）求证：DE⊥AC；

（Ⅱ）若∠A=30°，求BD的长．

正确答案

（I）证明：设AC交圆O于点F，则∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，

∵∠B=∠C，

∴∠AFD=∠ADF，

∴AD=AF=2，

∵OD=OF=2，

∴四边形ADOF是菱形，

∴OD∥AC，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∴DE⊥AC；

（Ⅱ）作OG⊥BD于点G，则G是BD的中点，

∵OD∥AC，

∴∠BDO=∠A=30°，

∴DG=ODcos30°=，

∴BD=2．

解析

（I）证明：设AC交圆O于点F，则∠B=∠AFD，∠C=∠ADF，

∵∠B=∠C，

∴∠AFD=∠ADF，

∴AD=AF=2，

∵OD=OF=2，

∴四边形ADOF是菱形，

∴OD∥AC，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∴DE⊥AC；

（Ⅱ）作OG⊥BD于点G，则G是BD的中点，

∵OD∥AC，

∴∠BDO=∠A=30°，

∴DG=ODcos30°=，

∴BD=2．

题型：简答题

简答题

正十边形的一个内角是多少度？

正确答案

解：由多边形内角和公式180°（n-2），

∴每一个内角的度数是

当n=10时．

得到一个内角为=144°

解析

解：由多边形内角和公式180°（n-2），

∴每一个内角的度数是

当n=10时．

得到一个内角为=144°

题型：简答题

简答题

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．

（1）求证：FB=FC；

（2）求证：FB2=FA•FD；

正确答案

解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC．

∵四边形AFBC内接于圆，

∴∠DAC=∠FBC．

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC．

（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，

∴△FBA∽△FDB．

∴，

∴FB2=FA•FD．

解析

解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC．

∵四边形AFBC内接于圆，

∴∠DAC=∠FBC．

∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC．

（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，

∴△FBA∽△FDB．

∴，

∴FB2=FA•FD．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，圆O内的两条弦AB、CD相交于P，PA=PB=4，PD=4PC．若O到AB的距离为4，则O到CD的距离为______．

正确答案

解析

解：取CD中点M，连接OD、OM、OP、OA，

根据圆的性质，OM⊥CD，OM即为O到CD的距离

∵PA=PB=4，即P为AB中点，

∴OP⊥AB，可得OP=4．

Rt△OPA中，OA==4

∵PA=PB=4，PD=4PC，

∴由PA•PB=PC•PD，即42=4PC2，可得PC=2

因此，PD=4PC=8，得CD=10

∴Rt△OMD中，DM=CD=5，OD=OA=4

可得OM==

故答案为：

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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