圆内接四边形的性质与判定定理
共108题

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圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：单选题

单选题

圆内接四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，在下图中全等三角形的对数为（　　）

A2对

B3对

C4对

D5对

正确答案

解析

解：如图所示，

∵AD∥BC，∴，∴AB=DC，即四边形ABCD是等腰梯形．

∴△ABC≌△DCA，△ABE≌△DCE，△ABC≌△DCB．

共有3对全等三角形．

故选B．

题型：填空题

填空题

如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆．

正确答案

解析

证明：连接OB、BI、OC，

由O是外心知∠IOC=2∠IBC．

由I是内心知∠ABC=2∠IBC．

从而∠IOC=∠ABC．

同理∠IOB=∠ACB．

而∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

故∠BOC+∠A=180°，

于是O、B、A、C 四点共圆．

题型：简答题

简答题

已知点M是△ABC的中线AD上的一点，直线BM交边AC于点N，且AB是△NBC的外接圆的切线，设，试求（用λ表示）．

正确答案

证明：过点N作NE∥AD，交CD于点E，可得

∵△ACD中，NE∥AD，∴=

同理可得，

∴••=．

因为BD=BC，所以•=1，可得．

∵AB是△NBC的外接圆的切线，

∴∠ABN=∠C，可得△ABN∽△ACB，则．

∴，即．

∵，

∴，结合已知，可得．

解析

证明：过点N作NE∥AD，交CD于点E，可得

∵△ACD中，NE∥AD，∴=

同理可得，

∴••=．

因为BD=BC，所以•=1，可得．

∵AB是△NBC的外接圆的切线，

∴∠ABN=∠C，可得△ABN∽△ACB，则．

∴，即．

∵，

∴，结合已知，可得．

题型：简答题

简答题

如图，△ABC是圆O的内接三角形，AC=BC，D为圆O中上一点，延长DA至点E，使得CE=CD；求证：AE=BD．

正确答案

证明：，∴∠BAC=∠ABC

∵∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠ADC

∴

∵CE=CD，∠ADC=∠E

∴…（4分）

∵四边形ADBC内接于圆O，∴∠CAE=∠CBD，…（6分）

又AC=BC，∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD． …（10分）

解析

证明：，∴∠BAC=∠ABC

∵∠BAC=∠BDC，∠ABC=∠ADC

∴

∵CE=CD，∠ADC=∠E

∴…（4分）

∵四边形ADBC内接于圆O，∴∠CAE=∠CBD，…（6分）

又AC=BC，∴△ACE≌△BCD，∴AE=BD． …（10分）

题型：简答题

简答题

（几何证明选讲）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．△ABC中，AB＜AC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且∠BAD=∠EAC．证明∠BAC是直角．

正确答案

证明：如图，取AC中点F，连EF、DF，EF为三角形△ABC得中位线，故有EF∥AB，∠AEF=∠EAB．①

又由∠BAD=∠EAC，所以∠EAB=∠DAC．②

因AD是BC边上的高，则△ADC是直角三角形，则DF=AF．于是∠ADF=∠DAC．…③

联合①、②，得∠ADF=∠AEF，由此，得A、D、E、F四点共圆．

于是，∠AFE=180°-∠ADE=90°．因∠BAC+∠AFE=180°，故∠BAC=90°

最后一步，也可由：AD⊥BC得EF⊥ACC从而AB⊥AC，得∠BAC=90°．

又取AC的中点F，连EF，也可证得∠BAC=90°．

解析

证明：如图，取AC中点F，连EF、DF，EF为三角形△ABC得中位线，故有EF∥AB，∠AEF=∠EAB．①

又由∠BAD=∠EAC，所以∠EAB=∠DAC．②

因AD是BC边上的高，则△ADC是直角三角形，则DF=AF．于是∠ADF=∠DAC．…③

联合①、②，得∠ADF=∠AEF，由此，得A、D、E、F四点共圆．

于是，∠AFE=180°-∠ADE=90°．因∠BAC+∠AFE=180°，故∠BAC=90°

最后一步，也可由：AD⊥BC得EF⊥ACC从而AB⊥AC，得∠BAC=90°．

又取AC的中点F，连EF，也可证得∠BAC=90°．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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