热门试卷

证明：（Ⅰ）连接OP，OM．

因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP．

因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC．

于是∠OPA+∠OMA=180°．

由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形M的对角互补，

所以A，P，O，M四点共圆．

解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM．

由（Ⅰ）得OP⊥AP．

由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM+∠APM=90°．

又∵A，P，O，M四点共圆

∴∠OPM=∠OAM

所以∠OAM+∠APM=90°．

解：（1）连接OB，则OA=OB；∵∠OAB=36°，∴∠OBA=∠OAB=36°，

∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，∴∠AOB=180°-36°-36°=108°，

∴β=∠C=∠AOB=54°．                                      …（3分）

（2）α与β之间的关系是α+β=90°；证明：∵∠OBA=∠OAB=α，∴∠AOB=180°-2α，

∵β=∠C=∠AOB，∴β=（180°-2α）=90°-α，∴α+β=90°．…（6分）

（3）∵点C平分优弧AB，

∴

∴AC=BC，

又∵BC2=3OA2，∴AC=BC=OA，

过O作OK⊥AC于K，连接OC，由垂径定理可知：AK=AC=OA，∴∠CAO=30°

易得：∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，∴△ABC为正三角形，

则：α=∠CAB-∠CAO=30°                                          …（10分）