- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共108题
下列四边形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
正确答案
解析
解：∵矩形对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形四个顶点定可在同一个圆上．
故选：C．
正确答案
解：如图所示：连接CE，AO，AB．
根据A，E是半圆的圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB=90°，∠CBE=30°，∠AOB=60°，∠ECB=60°．
故△AOB是边长为2的等边三角形．
∵∠AOB=∠ECB，∴OA∥EC．
又BE⊥EC，∴BE⊥AO．
已知AD⊥BO，及△AOB为等边三角形．
∴点F为△AOB的垂心，即为中心，也为重心．
∴AF=
解析
解：如图所示：连接CE，AO，AB．
根据A，E是半圆的圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB=90°，∠CBE=30°，∠AOB=60°，∠ECB=60°．
故△AOB是边长为2的等边三角形．
∵∠AOB=∠ECB，∴OA∥EC．
又BE⊥EC，∴BE⊥AO．
已知AD⊥BO，及△AOB为等边三角形．
∴点F为△AOB的垂心，即为中心，也为重心．
∴AF=
正确答案
证明：连接EF．
∵B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC=∠EFD．（2分）
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∴∠BAD+∠EFD=180°．（6分）
∴A，D，F，E四点共圆．（8分）
∵ED交AF于点G，
∴AG•GF=DG•GE．（10分）
解析
证明：连接EF．
∵B，C，F，E四点共圆，
∴∠ABC=∠EFD．（2分）
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°．
∴∠BAD+∠EFD=180°．（6分）
∴A，D，F，E四点共圆．（8分）
∵ED交AF于点G，
∴AG•GF=DG•GE．（10分）
（1）四边形ABCD的面积；
（2）圆O的直径．
正确答案
解：（1）连接AC，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB
=22+62-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD
=42+42-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴
∴
（2）
∴
所以直径=
即圆O的直径是
解析
解：（1）连接AC，AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB
=22+62-2×2×6•cosB
=40-24cosB
又AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cosD
=42+42-2×4×4•cosD
=32-32cosD
=32+32cosB
∴40-24cosB=32+32cosB
∴56cosB=8
∴
∴
（2）
∴
所以直径=
即圆O的直径是
求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．
正确答案
解析
连接OP、OQ、OB、OA，
∵O是△ABC的外心，
∴OE=OF，OB=OA，
由勾股定理得：BE2=OB2-OE2，AF2=OA2-OF2，
∴BE=AF，
∵AP=BQ，
∴PF=QE，
∵OE⊥AB，OF⊥AC
∴∠OFP=∠OEQ=90°，
∴Rt△OPF≌Rt△OQE，
∴∠P=∠Q，
∴O、A、P、Q四点共圆．
即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．
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