圆内接四边形的性质与判定定理
共108题

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圆内接四边形的性质与判定定理
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题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，CD是△ABC的AB边上的高，DE⊥AC于E、F为BC上一点，连接EF交CD于G．∠CFE-∠EDC．

（1）证明：A、B、F、E四点共圆；

（2）若∠ACB=90°，CE=4，EA=16，BF=2，求A、B、F、E所在圆的半径．

正确答案

（1）证明：∵CD是△ABC的AB边上的高，∴∠EDG+∠EDA=90°

∵DE⊥AC，∴∠A+∠EDA=90°

∴∠EDG=∠A

∵∠CFE=∠EDC

∴∠CFE=∠A

∴A、B、F、E四点共圆；

（2）设A、B、F、E所在圆的圆心为O，半径为R，P为AE的中点，Q为BF的中点，

则OP⊥AC，OQ⊥BF

∵∠ACB=90°，∴四边形OQCP是矩形，即OQ=12

∴R=OB==

∴A、B、F、E所在圆的半径为．

解析

（1）证明：∵CD是△ABC的AB边上的高，∴∠EDG+∠EDA=90°

∵DE⊥AC，∴∠A+∠EDA=90°

∴∠EDG=∠A

∵∠CFE=∠EDC

∴∠CFE=∠A

∴A、B、F、E四点共圆；

（2）设A、B、F、E所在圆的圆心为O，半径为R，P为AE的中点，Q为BF的中点，

则OP⊥AC，OQ⊥BF

∵∠ACB=90°，∴四边形OQCP是矩形，即OQ=12

∴R=OB==

∴A、B、F、E所在圆的半径为．

题型：单选题

单选题

如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积为（　　）

正确答案

解析

解：连结BD，可得四边形ABCD的面积为

S=S△ABD+S△CBD=AB•ADsinA+BC•CDsinC

∵四边形ABCD内接于圆，∴A+C=180°，可得sinA=sinC．

S=AB•ADsinA+BC•CDsinC

=（AB•AD+BC•CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA．…（*）

在△ABD中，由余弦定理可得

BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA=22+42-2×2×4cosA=20-16cosA，

同理可得：在△CDB中，BD2=CB2+CD2-2CB•CDcosC=62+42-2×6×4cosC=52-48cosC，

∴20-16cosA=52-48cosC

结合cosC=cos（180°-A）=-cosA，得64cosA=-32，解得cosA=-，

∵A∈（0°，180°），∴A=120°，

代入（*）式，可得四边形ABCD面积S=16sin120°=8

故选：D

题型：填空题

填空题

如图，△ABC内接于圆O，直线L平行AC交线段BC于D，交线段AB于E，交圆O于G、F，交圆O在点A的切线于P．若D是BC的中点，PE=6，ED=4，EF=6，则PA的长为______．

正确答案

解析

解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．

又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．

∵∠BED=∠PEA，

∴△BED∽△PEA，可得，

∴AE2=BE•AE=PE•ED=24．

由此解出AE=2．

∵AE2=GE•EF，∴GE=4，

∴PG=2，

∴PA2=PG•PF=24，

∴PA=2．

故答案为：2．

题型：单选题

单选题

下列关于圆内接四边形叙述正确的有（　　）

①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；

②圆内接四边形对角相等；

③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；

④在圆内部的四边形叫圆内接四边形．

A1个

B2个

C3个

D4个

正确答案

解析

解：对于①，由于圆内接四边形的对角互补，所以它的任意一个外角等于内对角

因此可得①是真命题；

对于②，当四边形ABCD中，A=60°、B=80°、C=120°且D=100°，

可得它的对角互补，所以四边形ABCD是圆内接四边形，但它的对角不相等，可得②是假命题；

对于③，圆内接四边形中，不相邻的两个内角就是相对的内角，

根据圆内接四边形的对角互补，可得不相邻的两个内角互补，故③是真命题；

对于④，四个顶点在圆上的四边形叫做圆内接四边形，而不是圆内部的四边形，故④是假命题

由此可得正确的叙述为①③，有2个

故选：B

题型：简答题

简答题

在△ABC的边AB，BC，CA上分别取D，E，F．使得DE=BE，FE=CE，又点O是△ADF的外心．

（Ⅰ）证明：D，E，F，O四点共圆；

（Ⅱ）证明：O在∠DEF的平分线上．

正确答案

解：（Ⅰ）∵△BDE中，DE=BE，∴∠EDB=∠B，可得∠BED=180°-2∠B，

同理可得∠CEF=180°-2∠C，

∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=2∠B+2∠C-180°，

∵∠B+∠C=180°-∠A，

∴∠DEF=2∠B+2∠C-180°=2（180°-∠A）-180°=180°-2∠A

∵∠DEF=180°-2∠A＞0，

∴∠A是锐角，可得△ADF的外心O与顶点A在DF的同侧，

因此，△ADF的外接圆中，∠DOF=2∠A

∴∠DEF=180°-∠DOF，得∠DEF+∠DOF=180°，

因此，四边形ODEF是圆内接四边形，即D、E、F、O四点共圆；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明，可得

∵在四边形ODEF的外接圆中，∠DEO与∠DFO对相同的弧，

∴∠DEO=∠DFO，同理可得∠FDO=∠FEO，

∵O是△ADF的外心，可得OD=OF，

∴∠FDO=∠DFO，可得∠FEO=∠DEO，即O在∠DEF平分线上．

解析

解：（Ⅰ）∵△BDE中，DE=BE，∴∠EDB=∠B，可得∠BED=180°-2∠B，

同理可得∠CEF=180°-2∠C，

∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=2∠B+2∠C-180°，

∵∠B+∠C=180°-∠A，

∴∠DEF=2∠B+2∠C-180°=2（180°-∠A）-180°=180°-2∠A

∵∠DEF=180°-2∠A＞0，

∴∠A是锐角，可得△ADF的外心O与顶点A在DF的同侧，

因此，△ADF的外接圆中，∠DOF=2∠A

∴∠DEF=180°-∠DOF，得∠DEF+∠DOF=180°，

因此，四边形ODEF是圆内接四边形，即D、E、F、O四点共圆；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明，可得

∵在四边形ODEF的外接圆中，∠DEO与∠DFO对相同的弧，

∴∠DEO=∠DFO，同理可得∠FDO=∠FEO，

∵O是△ADF的外心，可得OD=OF，

∴∠FDO=∠DFO，可得∠FEO=∠DEO，即O在∠DEF平分线上．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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