- 圆内接四边形的性质与判定定理
- 共108题
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=
正确答案
证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
（2）因为△ABE∽△ADC，
所以
即AB•AC=AD•AE．
又S=
且S=
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°．
选做题
如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=60°，F在AC上，且AE=AF．
（1）证明：B，D，H，E四点共圆；
（2）证明：CE平分∠DEF．
正确答案
解：（I）在△ABC中，
因为∠B=60°所以∠BAC+∠HCA=120°
因为AD，CE是角平分线所以∠AHC=120°
于是∠EHD=∠AHC=120°
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B，D，H，E四点共圆
（II）连接BH，则BH为∠ABC得平分线，
得∠HBD=30°
由（I）知B，D，H，E四点共圆所以∠CED=HBD=30°
又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得，EF⊥AD，
可得∠CEF=30°
所以CE平分∠DEF
已知PQRS是圆内接四边形，∠PSR=90°，过点Q作PR，PS的垂线，垂足分别为点H，K，
（Ⅰ）求证：Q，H，K，P四点共圆；
（Ⅱ）求证：QT=TS。
正确答案
证明：（Ⅰ）∵∠PHQ=∠PKQ=90°，
∴四点P，K，H，Q共圆；
（Ⅱ）∵四点P，K，H，Q共圆，
∴∠HKS=∠HQP，①
∴∠PSR=90°，PR为圆的直径，
∴∠PQR=90°，∠QRH=∠HQP，②
由①②得，∠QSP=∠HKS，
∴ST=TK，
又∠SKQ=90°，
∵∠SQK=∠TKQ，
∴QT=TK，
∴QT=TS。
已知△ABC 中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
正确答案
解：（1）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，
故∠EDF=∠CDF
即AD的延长线平分∠CDE。
（2）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC
连接OC，
由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，
∴∠OCH=60°
设圆半径为r，则r+
∴外接圆的面积为4π。
如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点，
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大小。
正确答案
（Ⅰ）证明：连结OP，OM，
因为AP与⊙O相切于点P，
所以OP⊥AP，
因为M是⊙O的弦BC的中点，
所以OM⊥BC，
于是∠OPA+∠OMA=180°，
由圆心O在的内部，
可知四边形APOM的对角互补，
所以A，P，O，M四点共圆。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，
所以∠OAM=∠OPM，
由（Ⅰ）得OP⊥AP，
由圆心O在的内部，
可知∠OPM+∠APM=90°，
所以∠OAM+∠APM=90°。
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