五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知函数y=cos（x+）．

（1）用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（2）求使函数y取最大值和最小值时自变量x的集合，并求出它的最大值和最小值；

（3）指出该函数的增区间．

正确答案

（1）列表如下：

作图：

（2）∵当x+=2kπ（k∈Z），即x=2kπ-，k∈Z时，y有最大值1，

∴x的取值集合为{x|x=2kπ-，k∈Z}；

同理可得y的最小值为-1，此时x的取值集合为{x|x=2kπ+，k∈Z}；

（3）由2kπ-π≤x+≤2kπ（k∈Z）得y=cos（x+）的单调增区间为：[2kπ-，2kπ-]（k∈Z）．

解析

（1）列表如下：

作图：

（2）∵当x+=2kπ（k∈Z），即x=2kπ-，k∈Z时，y有最大值1，

∴x的取值集合为{x|x=2kπ-，k∈Z}；

同理可得y的最小值为-1，此时x的取值集合为{x|x=2kπ+，k∈Z}；

（3）由2kπ-π≤x+≤2kπ（k∈Z）得y=cos（x+）的单调增区间为：[2kπ-，2kπ-]（k∈Z）．

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题型：简答题

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简答题

（2015春•邢台校级期末）已知函数f（x）=cos（2x-）+sin2x-cos2x，

（1）求f（x）的对称轴方程；

（2）用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的简图；

（3）若x∈[-，]，设函数g（x）=[f（x）]2+f（x），求g（x）的值域．

正确答案

解：（1）

…（2分）

令，得，

∴所求函数对称轴方程为…（4分）

（2）列表

（3）∵，则，

∴

设，则函数

当时，；当t=1时，ymax=2，

即所求函数g（x）的值域为…（12分）

解析

解：（1）

…（2分）

令，得，

∴所求函数对称轴方程为…（4分）

（2）列表

（3）∵，则，

∴

设，则函数

当时，；当t=1时，ymax=2，

即所求函数g（x）的值域为…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=cos（x+）

（1）用“五点法”作图作出y=f（x）的一个周期的图象；（列表作图）

（2）求函数f（x）的最大值，并写出取得最大值时自变量x的取值集合；

（3）函数y=f（x）可以由函数y=cosx如何变化得到？写出变化过程．

正确答案

解：（1）根据题意，列表如下：

画出函数f（x）=cos（x+）在周期[-3，9]上的图象，如图所示

（2）函数f（x）=cos（x+）的最大值是f（x）max=1，

令x+=2kπ，k∈Z，

解得x=-3+12k，k∈Z，

即函数取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x=-3+12k，k∈Z}；

（3）方法一，由函数y=cosx图象的横坐标变换成原来的倍，再向左平移3个单位，即得函数y=f（x）的图象；

方法二，由函数y=cosx向左平移个单位，再把横坐标变化成原来的倍，即得函数y=f（x）的图象．

解析

解：（1）根据题意，列表如下：

画出函数f（x）=cos（x+）在周期[-3，9]上的图象，如图所示

（2）函数f（x）=cos（x+）的最大值是f（x）max=1，

令x+=2kπ，k∈Z，

解得x=-3+12k，k∈Z，

即函数取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x=-3+12k，k∈Z}；

（3）方法一，由函数y=cosx图象的横坐标变换成原来的倍，再向左平移3个单位，即得函数y=f（x）的图象；

方法二，由函数y=cosx向左平移个单位，再把横坐标变化成原来的倍，即得函数y=f（x）的图象．

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题型：简答题

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简答题

已知函数y=3sin（x-）．

（1）用“五点法”作函数的图象；

（2）求此函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调递增区间．

（3）说出此图象是由y=sinx的图象经过怎样的变化得到的．

正确答案

解：（1）如图

（2）由已知，周期T==4π，振幅A=3，初相是-．

由于y=3sin（x-）是周期函数，通过观察图象可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x-=+kπ，解得直线方程为x=+2kπ，k∈Z；

所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，所以对称中心为点（+2kπ，0），k∈Z；

x前的系数为正数，所以把x-视为一个整体，令-+2kπ≤x-≤+2kπ，

解得[-+4kπ，+4kπ]，k∈Z为此函数的单调递增区间．

（3）方法一：“先平移，后伸缩”．

先把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x-）的图象；再把y=sin（x-）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x-）的图象；最后将y=sin（x-）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x-）的图象．

方法二：“先伸缩，后平移”．

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）的图象；再把y=sin（x）图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x-）=sin（）的图象；最后将y=sin（x-）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x-）的图象．

解析

解：（1）如图

（2）由已知，周期T==4π，振幅A=3，初相是-．

由于y=3sin（x-）是周期函数，通过观察图象可知，所有与x轴垂直并且通过图象的最值点的直线都是此函数的对称轴，即令x-=+kπ，解得直线方程为x=+2kπ，k∈Z；

所有图象与x轴的交点都是函数的对称中心，所以对称中心为点（+2kπ，0），k∈Z；

x前的系数为正数，所以把x-视为一个整体，令-+2kπ≤x-≤+2kπ，

解得[-+4kπ，+4kπ]，k∈Z为此函数的单调递增区间．

（3）方法一：“先平移，后伸缩”．

先把y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x-）的图象；再把y=sin（x-）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x-）的图象；最后将y=sin（x-）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x-）的图象．

方法二：“先伸缩，后平移”．

先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（x）的图象；再把y=sin（x）图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin（x-）=sin（）的图象；最后将y=sin（x-）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（x-）的图象．

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题型：简答题

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简答题

设=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），记f（x）=•．

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间[-，]的简图；

（3）若对任意x∈[-，]时，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），

则f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+

=sin（2x+）+

则函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）先列表，再描点连线，可得简图．

（3）令g（x）=f（x）-m=sin（2x+）+-m，

∵x∈[-，]，

∴2x+∈[-，]

∴sin（2x+）∈[-，1]，

∴g（x）∈[-m，-m]，

当2x+=-即x=-时，g（x）取得最小值-m，

又f（0）==1，

对任意x∈[-，]时，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，

则1≤-m，即有m≤-1．

故实数m的取值范围是（-∞，-1]．

解析

解：（1）=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），

则f（x）=•=sinxcosx+cos2x=sin2x+

=sin（2x+）+

则函数f（x）的最小正周期T==π；

（2）先列表，再描点连线，可得简图．

（3）令g（x）=f（x）-m=sin（2x+）+-m，

∵x∈[-，]，

∴2x+∈[-，]

∴sin（2x+）∈[-，1]，

∴g（x）∈[-m，-m]，

当2x+=-即x=-时，g（x）取得最小值-m，

又f（0）==1，

对任意x∈[-，]时，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，

则1≤-m，即有m≤-1．

故实数m的取值范围是（-∞，-1]．

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