直线与圆相交的性质
共61题

· 直线与圆相交的性质

直线与圆相交的性质
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题型：填空题

填空题 · 5 分

12．过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为________.

正确答案

解析

有割线定理得，(PC-)(PC+ )=PA.PB,所以，20=2PA2

PA2=10

设A(x,y),则（x+4）2+y2=10与圆联立可得

x=-1, y=1

直线的方程为

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较高，涉及求弦长、圆的几何性质等问题。

解题思路

直线与圆相交的问题，常常考查求弦长问题，涉及到弦的中点即可使用圆的相关的几何性质，转化为直线垂直，进而求出斜率，使用点斜式求出方程。

易错点

1、本题点恰好是线段的中点这一重要信息不能紧密地和圆中的几何性质垂径定理联系起来。

2、两直线垂直的等价条件不能与直线的斜率联系起来。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=，

则圆C的面积为 .

正确答案

知识点

直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点.

（1）求k的取值范围；

（2）若，其中O为坐标原点，求.

正确答案

（1）由题设，可知直线的方程为.

因为与C交于两点，所以.

解得 .

所以k的取值范围为.

（2）设.

将代入方程，整理得

所以.

由题设可得=12，解得k=1，所以的方程是y=x+1.

故圆心C在上，所以.

解析

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知识点

平面向量数量积的运算直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，。

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）圆C1：X2+Y2-6X+5=0化为,所以圆C1的圆心坐标为（3,0）

（2）设线段AB的终点M（x0，y0），由圆的性质可得C1M垂直于直线L

设直线L的方程为y=mx，所以,

所以即

因为动直线L与圆C1相交，所以所以m2<

所以，所以，解得或，又因为，所以。

所以满足

即的轨迹的方程为。

（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线。

结合图形，表示的是一段关于X轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，，解得.在这里暂取，因为，所以

结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或。

综上所述：当或时，直线L：与曲线只有一交点。

解析

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知识点

直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质与圆有关的轨迹问题

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