复数的四则运算
共2149题

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复数的四则运算
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题型：简答题

简答题

已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=•，|w|=2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；

（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；

（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由题设，|w|=|•|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，

于是由1+m2=4，且m＞0，得m=，…（3分）

因此由x′+y′i=•=x++(-y)i，

得关系式…（5分）

（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足，…（7分）

消去x，得y′=(2-)x′-2+2，

故点Q的轨迹方程为y=(2-)x-2+2…（10分）

（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）

[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+y，x-y)仍在该直线上，

∴x-y=k(x+y)+b，

即-(k+1)y=(k-)x+b，

当b≠0时，方程组无解，

故这样的直线不存在． …（16分）

当b=0时，由=，

得k2+2k-=0，

解得k=或k=-，

故这样的直线存在，其方程为y=x或y=-x，…（18分）

[解法二]取直线上一点P(-，0)，其经变换后的点Q(-，-)仍在该直线上，

∴-=k(-)+b，

得b=0，…（14分）

故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+k，-k)仍在该直线上．

∴-k=k(1+k)，…（16分）

即k2+2k-=0，得k=或k=-，

故这样的直线存在，其方程为y=x或y=-x，…（18分）

题型：填空题

填空题

在复平面内，点A对应的复数为4+3i，点B对应的复数为-2+i，那么线段AB的中点C到原点的距离为______．

正确答案

在复平面内，点A对应的复数为4+3i，点B对应的复数为-2+i，所以A（4，3），B（-2，1），

那么线段AB的中点C（1，2），它到原点的距离=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

（1）若双曲线x2-=1的离心率为n，则n=______；

（2）设i为虚数单位，复数（1+i）n的运算结果为______．

正确答案

（1）依题意可知a=1，b=

∴c==4

∴n==4

（2）∵（1+i）2=1+2i-1=2i

∴（1+i）4=（2i）2=-4

故答案为4，-4

题型：简答题

简答题

已知复数z=x-yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．设集合P={-4，-3，0，4}，Q={-3，0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求点M落在第二象限的概率．

正确答案

记事件A为点M落在第二象限（x为负，y为负）．

由题意，基本事件总数为4×4=16个，

事件A发生包含的基本事件有（-4，-3），（-3，-3）

故P(A)==．（12分）

题型：简答题

简答题

对任意一个非零复数z，定义集合Mz={w|w=z2n-1，n∈N}．

（Ⅰ）设α是方程x+=的一个根．试用列举法表示集合Ma，若在Ma中任取两个数，求其和为零的概率P；

（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：Mω⊆Mz．

正确答案

（Ⅰ）∵α是方程x2-x+1=0的根，∴α1=(1+i)或α2=(1-i)．…（2分）

当α1=(1+i)时，∵=i， ==，

∴Mα1={，，，}={(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)}．

当α2=(1-i)时，∵=-i，

∴Mα2={，，，}=Mα1={(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)}．

当α2=(1-i)时，∵=-i，∴Mα2={，，，}=Mα1．

因此，不论α取哪一个值，集合Mα是不变的，即Mα={(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)}．…（8分）

于是，在Ma中任取两个数，求其和为零的概率　P==．…（10分）

（Ⅱ）证明：∵ω∈Mz，∴存在m∈N，使得ω=z2m-1．…（12分）

于是对任意n∈N，ω2n-1=z（2m-1）（2n-1），由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω2n-1∈Mz，所以Mω⊆Mz．…（14分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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