- 复数的四则运算
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投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率为______．
正确答案
由题意知这是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是6×6=36，
而满足条件的事件是使得复数（m+ni）（n-mi）为实数，
先计算出复数（m+ni）（n-mi）为实数时n和m的值，
∵复数（m+ni）（n-mi）=2mn+（m2-n2）i为实数
∴m2-n2=0
∴m=n
∴满足条件的事件数是6，
∴复数（m+ni）（n-mi）为实数的概率是
故答案为：
对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；
（2）若z=2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值；
（3）直线l：y=x-9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z=x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
正确答案
（1）
由于x，y∈Z，得
∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，
∴A={0，1}
（2）若z=2+yi（y∈R），则P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）为纯虚数，则
∴y=k+
∴|z|=
∴当k=0或-1时，|z|min=
（3）P（z）对应点坐标为（x2cos（yπ），x2sin（yπ））
由题意：
所以 x2sinxπ=x2cosxπ+9∵x∈Z
∴①当x=2k，k∈Z时，得x2+9=0不成立；
②当x=2k+1，k∈Z时，得x2-9=0∴x=±3成立
此时
已知复数z=（m2-m-6）+（m2-2m-15）i，m∈R
（1）当m=3时，求|z|；
（2）当m为何值时，z为纯虚数；
（3）若复数z在复平面上所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
正确答案
解（1）当m=3时，z=（m2-m-6）+（m2-2m-15）i=-12i，
所以|z|=12；
（2）由
所以当m=-2或m=3时z为纯虚数；
（3）由
所以当-3＜m＜-2或3＜m＜5时z在复平面上所对应的点在第四象限．
设复数
正确答案
应用复数乘法的几何意义，得
于是
设复数z=cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），求复数z2+z的模和辐角．
正确答案
z2+z=（cosθ+isinθ）2+（cosθ+isinθ）
=cos2θ+isin2θ+cosθ+isinθ
=2cos
=2cos
=-2cos
∵θ∈（π，2π）
∴
∴-2cos（
所以复数z2+z的模为-2cos
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