- 对数函数
- 共8722题
已知a＞1，在函数y=logax（x≥1）的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为t、t+2、t+4．
（1）若△ABC的面积为S，求S=f（t）；
（2）判断S=f（t）的单调性．
正确答案
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C
（2）因为v=t2+4t在[1，+∞）上是增函数，且v≥5，
所以复合函数S=f（t）=
解析
则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C-S梯形AA1C1C
（2）因为v=t2+4t在[1，+∞）上是增函数，且v≥5，
所以复合函数S=f（t）=
正确答案
2mvsinθ
解析
解：设小球入射时的在水平方向上的动量与反射时在水平方向上的动量相同
小球入射时的在竖直方向上的动量大小为mvsinθ；反射时在竖直方向上的动量大小也为mvsinθ，但方向相反
所以碰撞过程中小球的动量变化大小为2mvsinθ
故答案为2mvsinθ
（2015秋•冷水江市校级期中）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（Ⅰ）若扣除投资和各种维修费，则从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：
①年平均利润最大时以46万元出售该楼；
②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，
问哪种方案盈利更多？
正确答案
解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+
因此利润y=30n-（81+n2），令y＞0，
解得：3＜n＜27，
所以从第4年开始获取纯利润．
（Ⅱ）纯利润y=30n-（81+n2）=-（n-15）2+144，
所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．
年平均利润W=
两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．
解析
解：（Ⅰ）设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，共n+
因此利润y=30n-（81+n2），令y＞0，
解得：3＜n＜27，
所以从第4年开始获取纯利润．
（Ⅱ）纯利润y=30n-（81+n2）=-（n-15）2+144，
所以15年后共获利润：144+10=154（万元）．
年平均利润W=
两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．
我国是水资源比较贫乏的国家之一．目前，某市就节水问题，召开了市民听证会，并对水价进行激烈讨论，会后拟定方案如下：以户为单位，按月收缴，水价按照每户每月用水量分三级管理，第一级为每月用水量不超过12吨，每吨3.5元；第二级计量范围为超过12吨不超过18吨部分，第三级计量范围为超出18吨的部分，一、二、三级水价的单价按1：3：5计价．
（1）请写出每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系；
（2）某户居民当月交纳水费为63元，该户当月用水多少吨？
正确答案
解：（1）根据第一级为每月用水量不超过12吨，每吨3.5元；第二级计量范围为超过12吨不超过18吨部分，第三级计量范围为超出18吨的部分，一、二、三级水价的单价按1：3：5计价，可得
（2）由题意10.5x-84=63，解得x=14，…（11分）
答：该用户当月用水14吨． …（12分）
解析
解：（1）根据第一级为每月用水量不超过12吨，每吨3.5元；第二级计量范围为超过12吨不超过18吨部分，第三级计量范围为超出18吨的部分，一、二、三级水价的单价按1：3：5计价，可得
（2）由题意10.5x-84=63，解得x=14，…（11分）
答：该用户当月用水14吨． …（12分）
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减小库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？说明理由．
正确答案
解：（1）设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+2x）件，每件利润为（40-x）元，
依题意，得y=（20+2x）（40-x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，
∴x=15时，y最大为1250元，即经理的决定正确．
解析
解：（1）设每件衬衫应降价x元，则销售量为（20+2x）件，每件利润为（40-x）元，
依题意，得y=（20+2x）（40-x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，
∴x=15时，y最大为1250元，即经理的决定正确．
随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
正确答案
解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，
则
依题意可得 
又 140＜2a＜420，∴70＜a＜210．（7分）
（1）当
（2）当
答：当70＜a≤140，公司应裁员为a-70，经济效益取到最大值，
当140＜a＜210，公司应裁员为
解析
解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，
则
依题意可得
又 140＜2a＜420，∴70＜a＜210．（7分）
（1）当
（2）当
答：当70＜a≤140，公司应裁员为a-70，经济效益取到最大值，
当140＜a＜210，公司应裁员为
某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投入都不大于3（百万元）时，每投入x（百万元）广告费，增加的销售额可近似的用函数y1=-2x2+14x（百万元）来计算；每投入x（百万元）技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数y2=-
正确答案
解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3-x（百万元），则广告收入带来的销售额增加值为-2（3-x）2+14（3-x）（百万元），技术改造投入带来的销售额增加值为-
所以，投入带来的销售额增加值F（x）=-2（3-x）2+14（3-x）-
整理上式得F（x）=-
因为F′（x）=-x2+3，令F′（x）=0，解得x=
当x∈[0，
所以，x=
所以，当该公司用于广告投入1.27（百万元），用于技术改造投入1.73（百万元）时，公司将有最大的销售额．
解析
解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3-x（百万元），则广告收入带来的销售额增加值为-2（3-x）2+14（3-x）（百万元），技术改造投入带来的销售额增加值为-
所以，投入带来的销售额增加值F（x）=-2（3-x）2+14（3-x）-
整理上式得F（x）=-
因为F′（x）=-x2+3，令F′（x）=0，解得x=
当x∈[0，
所以，x=
所以，当该公司用于广告投入1.27（百万元），用于技术改造投入1.73（百万元）时，公司将有最大的销售额．
已知某商品的生产成本C与产量q满足的函数关系为C=100+4q，价格p与产量q满足p=25-
（1）求利润L与产量q的函数关关系式；
（2）求当产量为100时的利润值；
（3）求利润最大时的产量q．
正确答案
解：（1）收入R=p•q=
利润
=-
（2）当q=100时，
答：产量为100时，利润值为750．
（3）解法一：
令L′=0，得q=84．
∵0＜q＜84时，L‘＞0，84＜q＜200时，L‘＜0，
∴当q=84时，L取得最大值．
解法二：
图象开口向下，对称轴为q=-
且84∈（0，200），
∴q=84时，对应函数的最高点，即L取得最大值．
答：产量为84时，利润最大．
解析
解：（1）收入R=p•q=
利润
=-
（2）当q=100时，
答：产量为100时，利润值为750．
（3）解法一：
令L′=0，得q=84．
∵0＜q＜84时，L‘＞0，84＜q＜200时，L‘＜0，
∴当q=84时，L取得最大值．
解法二：
图象开口向下，对称轴为q=-
且84∈（0，200），
∴q=84时，对应函数的最高点，即L取得最大值．
答：产量为84时，利润最大．
某厂家拟在2014年举行的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-
（1）求k的值，并求年促销费用为9万元时，该厂的年产量为多少万件？
（2）将2014年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；
（3）该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值．
正确答案
解：（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知m=0时，x=1（万件），
∴1=3-k，得k=2，
从而x=3-
综上得，k=2，年促销费用为9万元时，该厂的年产量为2.8万件；
（2）由（1）知，x=3-
∴2014年的利润为y=1.5×
（3）由（2）得，y=28-
∵m≥0时，
∴y≤29-8=21，
当且仅当
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．
解析
解：（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知m=0时，x=1（万件），
∴1=3-k，得k=2，
从而x=3-
综上得，k=2，年促销费用为9万元时，该厂的年产量为2.8万件；
（2）由（1）知，x=3-
∴2014年的利润为y=1.5×
（3）由（2）得，y=28-
∵m≥0时，
∴y≤29-8=21，
当且仅当
答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．
某公司今年年初用36万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元．
（1）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
正确答案
解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
设纯收益与使用年数n的关系为f（n），
则f（n）=21n-[2n+
由f（n）＞0，得n2-20n+36＜0，
解得：2＜n＜18，
∵n∈N，
∴第2年末的收益与支出恰好相等，故从第3年起该公司开始获利．…（6分）
（2）年平均收益为：
当且仅当n=
即这种设备使用6年，该公司的年平均收益最大．…（12分）
解析
解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
设纯收益与使用年数n的关系为f（n），
则f（n）=21n-[2n+
由f（n）＞0，得n2-20n+36＜0，
解得：2＜n＜18，
∵n∈N，
∴第2年末的收益与支出恰好相等，故从第3年起该公司开始获利．…（6分）
（2）年平均收益为：
当且仅当n=
即这种设备使用6年，该公司的年平均收益最大．…（12分）
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