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题型:简答题
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简答题

已知,是否存在不小于2的正整数,使得对于任意的正整数都能被整除?如果存在,求出最大的值;如果不存在,请说明理由.

正确答案

,证明见解析

,由此猜想

下面用数学归纳法证明.

(1)当时,显然能被36整除.

(2)假设当时,能被36整除,即能被36整除.

那么当时,

由假设知能被36整除,

是偶数,也能被36整除.

根据(1)(2)可知命题对任何都成立.

的最大值为36.

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题型:简答题
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简答题

已知,分别求,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.

正确答案

 (6分)   (10分)

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题型:简答题
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简答题

(本小题10分)

证明:

正确答案

证明:

要证        

只需证      

即证         

即证         

即证          

因为           显然成立

所以 原命题成立

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题型:填空题
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填空题

时,有

时,有

时,有

时,有

时,你能得到的结论是:                                  

正确答案

=

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题型:简答题
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简答题

(本题满分15分)

已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).

(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;              

(2)用数学纳法证明你的猜想,并求出an的表达式.                

正确答案

(1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2)

∴Sn=n2(Sn-Sn-1),∴Sn=Sn-1(n≥2)

∵a1=1,∴S1=a1=1.

∴S2=,S3==,S4=,                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分

猜想Sn=(n∈N*).                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分

(2)证明 ①当n=1时,S1=1成立.

②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即Sk=

当n=k+1时,

Sk+1=(k+1)2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+,           

∴ak+1=

∴Sk+1=(k+1)2·ak+1==

∴n=k+1时等式也成立,得证.

∴根据①、②可知,对于任意n∈N*,等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分

又∵ak+1=,∴an=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分

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