- 反证法
- 共255题
已知,是否存在不小于2的正整数
,使得对于任意的正整数
都能被
整除?如果存在,求出最大的
值;如果不存在,请说明理由.
正确答案
,证明见解析
由,
,
,
,
,由此猜想
.
下面用数学归纳法证明.
(1)当时,
显然能被36整除.
(2)假设当时,
能被36整除,即
能被36整除.
那么当时,
,
由假设知
能被36整除,
又是偶数,
也能被36整除.
根据(1)(2)可知命题对任何都成立.
的最大值为36.
已知,分别求
,
,
,然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.
正确答案
(6分)
(10分)
略
(本小题10分)
证明:
正确答案
证明:
要证
只需证
即证
即证
即证
因为 显然成立
所以 原命题成立
略
当时,有
当时,有
当时,有
当时,有
当时,你能得到的结论是: .
正确答案
=
略
(本题满分15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).
(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)用数学纳法证明你的猜想,并求出an的表达式.
正确答案
(1)解 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2)
∴Sn=n2(Sn-Sn-1),∴Sn=Sn-1(n≥2)
∵a1=1,∴S1=a1=1.
∴S2=,S3=
=
,S4=
, ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
猜想Sn=(n∈N*). ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
(2)证明 ①当n=1时,S1=1成立.
②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,即Sk=,
当n=k+1时,
Sk+1=(k+1)2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+,
∴ak+1=,
∴Sk+1=(k+1)2·ak+1==
,
∴n=k+1时等式也成立,得证.
∴根据①、②可知,对于任意n∈N*,等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
又∵ak+1=,∴an=
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分
略
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