反证法_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。

（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；

（2）求证：an+1-bn+1＜；

（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。

正确答案

解：（1）证明：易知对任意n∈N*，an>0，bn>0

由a≠b，可知，即a1>b1同理，，即a2>b2可知对任意n∈N*，an>bn

所以数列{an}是递减数列

所以数列{bn}是递增数列。

（2）证明：

。

（3）由

可得

若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，

则对任意n∈N*，

即对任意n∈N*成立，

设[x]表示不超过x的最大整数，

则有

即当时，

与对任意n∈N*成立矛盾

所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；

（2）用反证法证明：直线ME与BN 是两条异面直线。

正确答案

解：（1）取CD的中点G，连接MG，NG。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，

则MG⊥CD，MG=2，NG=

因为平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN与平面DCEF所成的角。

因为MN=，

所以sin∠MNG=

则MN与平面DCEF所成角的正弦值为。

（2）假设直线ME与BN共面，

则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN

由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，

所以AB//平面DCEF。

EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，

故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。

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题型：简答题

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简答题

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：

①对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；

②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，

（Ⅰ）设，证明：φ（x）∈A；

（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么这样的x0是唯一的；

（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=φ（2xn），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式。

正确答案

证明：（Ⅰ）对任意，

，

所以，

对任意的，

，

所以，

令，

，

所以。

（Ⅱ）反证法：设存在两个使得，

则由，

所以L≥1，矛盾，故结论成立。

（Ⅲ），

所以，

。

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题型：简答题

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简答题

设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）在an与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列（如：在a1与a2之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d1；在a2与a3之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d2，…以此类推），设第n个等差数列的和是An．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得An=g（n）dn对任意n∈N*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；

（3）对于（2）中的数列d1，d2，d3，…，dn，…，这个数列中是否存在不同的三项dm，dk，dp（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）n≥2时，由a n+1=2Sn+2，得an=2S n﹣1+2

两式相减可得：a n+1﹣an=2an，

∴a n+1=3an，即数列{an}的公比为3

∵n=1时，a2=2S1+2，

∴3a1=2a1+2，解得a1=2，

∴an=2×3 n﹣1；

（2）由（1）知an=2×3 n﹣1，a n+1=2×3n，

因为a n+1=an+（n+1）dn，所以dn=

第n个等差数列的和是

An=（n+2）an+×=4（n+2）×3 n﹣1=（n+2）（n+1）dn，

∴存在一个关于n的多项式g（n）=（n+2）（n+1），使得An=g（n）dn对任意n∈N*恒成立；

（3）假设在数列{dn}中存在dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列

则dk2=dmdp，

即（）2=×

因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k①

上式可以化简为k2=mp②

由①②可得m=k=p

这与题设矛盾{dn}中不存在三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．

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题型：简答题

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简答题

对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得，.特别地，当时，称b能整除a，记作，已知

（1）存在，使得，试求，的值；

（2）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；

（3）若，(指集合B中的元素的个数)，且存在，则称为“和谐集”，.求最大的，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．

正确答案

解：(1)因为，

所以.

(2)证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，

若，则.

设，

由已知，由于，

所以.

不妨令，这里，且，

同理，，且，

因为只有三个元素，

所以.即，

但是，与已知矛盾.

因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，

若，则.

(3)当时，记，，

记,则，

显然对任意，不存在，使得成立.

故是非“和谐集”，此时.

同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.

因此m≤7

下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.

设，若中之一为集合的元素，

显然为”.现考虑都不属于集合，构造集合，，，，，.

以上每个集合中的元素都是倍数关系.

考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，

即集合中至少有两个元素存在倍数关系.

综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为”，即的最大值为7.

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