- 反证法
- 共255题
完成反证法证题的全过程．设a1,a2, ,a7是1,2, ,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2) (a7-7)为偶数．
证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2, ,a7-7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数= = =0．但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数．
正确答案
(a1-1)+(a2-2)+ +(a7-7) = (a1+a2+ +a7)-(1+2+ +7)
试题分析：理解奇偶数的关系是本题的关键，利用分组将原来的(a1-1)+(a2-2)+ +(a7-7)变形为(a1+a2+ +a7)-(1+2+ +7)，可得出矛盾所在．
已知定义在R上的函数
定义：
(1)若
(2)若对任意的
正确答案
（1）
第一问中，利用因为
第二问，若
则存在
与
解：（1）因为
（2）若
则存在
与
证明：已知
正确答案
见解析
试题分析：采用分析法证明，要证明
已知
正确答案
见解析
试题分析：先假设结论的反面成立，即假设
假设
而
设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.
正确答案
证明略
证明 由I2=（a+b+c）2
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+2S,
∵a,b,c为任意三角形三边长，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)
即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0
∴a2+b2+c2＜2S
∴a2+b2+c2+2S＜4S.
∴I2＜4S.
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