- 基本初等函数（1）
- 共14786题
线段|BC|=4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|=y，|AB|=x．
（Ⅰ）求y=f（x）的函数表达式及函数的定义域；
（Ⅱ）设d=y+x-1，试求d的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）当A、B、C三点不共线时，由三角形中线性质知2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2，
代入得2（22+y2）=x2+（6-x）2，
又y≥0，得y=
当A，B，C三点共线时，由|AB|+|AC|=6＞|BC|=4，可知A在线段BC外侧，
由|6-x-x|=4，可得x=1或x=5，因此，当x=1或x=5时，有|AB|+|AC|=6，
同时也满足：2（|BM|2+|AM|2）=|AB|2+|AC|2．
当A． B．C不共线时，||AB|-|AC||＜|BC|=4，可知1＜x＜5，…（6分）
从而y=f(x)=
（Ⅱ）∵y=
令t=x-3，由1≤x≤5知，t∈[-2，2]，d=
两边对t求导得：dt=1+
∴d关于t在[-2，2]上单调递增．
∴当t=2时，dmin=3，此时x=1；当t=2时，dmax=7．此时x=5．
故d的取值范围为[3，7]．…（15分）
某公司招聘员工，面试人数y拟照公式y=
正确答案
当1≤X≤10时，4x=60
∴x=15不成立
当10＜x≤100时2x+10=60
∴x=25成立
当x＞100时1.5x=60
∴x=40不成立
故答案25
一动点P从边长为1的正方形ABCD的一个顶点A出发，沿着正方形的边界ABCD运动一周最后回到点A，若点P运动的路程为x，点P到点A的距离为y，求y与x的函数关系式，并指出函数的定义域和值域．
正确答案
设动点P按A-B-C-D-A的顺序沿正方形的边界运动一周，则
当0≤x＜1时，y=x，
当1≤x＜2时，y=
当2≤x＜3时，y=
当3≤x≤4时，y=4-x
∴所求函数关系式是
y=
函数的定义域为[0，4]，
值域为[0，
如图所示，某建筑物内有一个直角型过道，两过道的宽均为2米，问长为6米的铁棒能否通过该直角型过道？请说明理由．
正确答案
根据图得：l（θ）=BP+AP=
理由如下：l′（θ）=（
=
令l'（θ）=0得，θ=
当0＜θ＜
当
所以当θ=
因为4
一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
正确答案
某种商品原来定价为每件p元，每月将卖出n件．假若定价上涨x成（注：x成即
（1）若y=
（2）若y=ax，其中a是满足
正确答案
（1）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+
因而有：npz=p（1+
∴z=
当y=
由z=
得0＜x＜5
（2）该商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是
p（1+
因而有：npz=p（1+
∴z=
z=
∵
∴10-ax＞0
∴（10a+ax）（10-ax）≤
当且仅当10a+ax=10-ax，即x=
即要使的销售金额最大，只要z值最大，这时应有x=
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？
正确答案
（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为36%，38%，40%，42%．
则2006年全球太阳电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8（兆瓦）．
（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，
则
解得x≥0.615．
因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%．
人口问题其实是许多国家的政府都要面对的问题．05年10月24日出版的《环球时报》就报道了一篇俄罗斯政府目前遭遇“人口危机”的文章．报道中引用了以下来自俄政府公布的数据：
●截至05年6月底，俄罗斯人口为1.431亿，人口密度每平方公里只有8.38人；
●04年一年俄人口就减少了76万，05年1月至5月共又减少了35.9万；
●据俄联邦安全会议预测，到2050年，俄将只有约1亿人口，比目前锐减30%．
试根据以上数据信息回答下列问题：
（1）以04年至05年5月这17个月平均每月人口减少的数据为基础，假设每月人口减少相同，预测到2050年6月底，俄罗斯的人口约为多少亿？（保留三位小数）
（2）按第（1）小题给定的预测方法，到何时俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人？
正确答案
（1）由给出的信息可知，17个月里平均每月人口减少
2005年6月底至2050年6月底共经过12×45=540个月，若每月人口减少数相同，
则到2050年6月底俄罗斯的人口数约为14310-6.5824×540=10755.504万，即约为1.076亿．
（2）设从05年6月底起，经n个月后俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人，
于是有
∴至少要经过877个月，即73年零1个月，也就是到2078年7月底，俄罗斯的人口密度将低于每平方公里5人．
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．
若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？
正确答案
设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去
总开支又分为：①买卡所需费用240x；②包车所需费用
∴y=240x+
因此，y=240（x+
当且仅当x=
∴当x=8时，总开支y的最大值为3840元，此时每人最少应交
答：若使每个同学游8次，每人最少应交80元钱．
如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？
正确答案
设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，
盒子容积为：y=（8-2x）•（5-2x）•x=4x3-26x2+40x，
对y求导，得y′=12x2-52x+40，令y′=0，得12x2-52x+40=0，解得：x=1，x=
所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜
所以，当x=1时，函数y取得最大值18；
所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．
某商店按每件80元的价格，购进商品1000件（卖不出去的商品可退还厂家）；市场调研推知：当每件售价为100元时，恰好全部售完；当售价每提高1元时，销售量就减少10件；为获得最大利润，商店决定提高售价x元，获得总利润y元．
（1）请将y表示为x的函数；
（2）当售价为多少时，总利润取最大值，并求出此时的利润．
正确答案
（1）利润函数y=（100+x-80）•=-10x2+800x+20000（其中0≤x≤100，x∈N）；
（2）∵二次函数y的对称轴是x=40，∴当x=40时，函数y有最大值；即ymax=-10×1600+800×40+20000=36000
∴售价定为140元时，利润最大，其最大利润为36000元．
某商品每件成本为80元，当每件售价为100元时，每天可以售出100件．若售价降低10x%，售出商品的数量就增加16x%．
（1）试建立该商品一天的营业额y（元）关于x的函数关系式；
（2）若要求该商品一天的营业额至少为10260元，且又不能亏本，求x的取值范围．
正确答案
（1）所求函数关系式为y=100（1-0.1x）•100（1+0.16x）（x＞0）…（3分）
又售价不能低于成本价，所以100（1-
∴y=100（1-0.1x）•100（1+0.16x），定义域为[0，2]．
（不写定义域不扣分）
（2）依题意建立不等式组：
解（1）得：
解（2）得：x≤2…（9分）
综上所述，
说明：无不等式（2）共扣（2分）．
某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售2000件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术的含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x（0＜x＜1），那么月平均销售量减少的百分率为x2．设改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）．
（1）当销售价提高的百分率为0.1时，月利润是多少？
（2）写出y与x的函数关系式；
（3）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大．
正确答案
（1）当销售价提高的百分率为0.1时，销售价是22元
月平均销售量减少的百分率为0.01，
月平均销售量为2000（1-0.01）（元） …（1分）
月利润是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元 …（2分）
（2）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x），月平均销售量为2000（1-x2）
件，则月平均利润2000（1-x2）[20（1+x）-15]（元），
∴y与x的函数关系式为：y=2000（1-x2）[20（1+x）-15]（0＜x＜1），y=10000（-4x3-x2+4x+1）…（4分）
（3）由y'=10000（4-2x-12x2）=0，得x1=
当0＜x＜
故改进工艺后，产品的销售价为20(1+
用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，则该长方体的长、宽、高各为______时，其体积最大．
正确答案
设长方体的宽为xcm，则长为2xcm，高为（
它的体积为V=2x•x•（
对V求导，并令V′（x）=0，得18x-18x2=0，解得x=0，或x=1；
当0＜x＜1时，函数V（x）单调递增，当1＜x＜
所以，当x=1时，函数V（x）有最大值，此时长为2cm，宽为1cm，高为1.5cm．
故答案为：2cm，1cm，1.5cm．
下面给出f（x）随x的增大而得到的函数值表：
试回答：
（1）随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
（2）各函数增长的快慢有什么不同？
（3）根据以上结论，体会银行的客户存款的年利率，一般不会高于10%的实际意义．
正确答案
（1）随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
（2）各函数增长的快慢不同，其中f（x）=2x增长最快，而且越来越快；f（x）=log2x的增长最慢，而且增长的幅度越来越小．
（3）按复利计算，存款以指数函数增长，如果年利率设置太高，存款的增长越来越快，银行将难以承担利息支出．
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