- 基本初等函数（1）
- 共14786题
下列四个命题中，正确的命题是：______ （要求把正确的序号都填上）．
①函数y=f（x）和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称；②函数y=f（x）和x=f（y）的图象关于直线y=x对称；
③函数y=f（x）和x=f-1（y）的图象关于直线y=x对称；④函数y=f（x）和x=f-1（y）的图象是同一曲线．
正确答案
函数y=f（x）和y=f-1（x）互为反函数，则两函数图象关于直线y=x对称，
而x=f（y）与y=f-1（x）是同一函数，故函数y=f（x）和x=f（y）的图象关于直线y=x对称；
函数y=f（x）和x=f-1（y）是同一函数，故图象不一定关于直线y=x对称；
故答案为：①②④．
设函数f(x)=
正确答案
由题意得：
g（-1）=（-1-1）2f（-1-1）=4×（-1）=-4，
又设g（x）=（x-1）2f（x-1）=-4，得：
（x-1）2=4，（x-1＜0）⇒x=-1，
y=g（x）的反函数y=g-1（x），
∴g-1（-4）=-1，
则g（-1）•g-1（-4）的值为（-4）×（-1）=4．
故答案为：4．
若函数
正确答案
试题分析：由于函数
所以，
令
当
当
综上所述，函数
故答案为：
函数f（x）=4x-1的反函数f-1（x）=______．
正确答案
∵y=4x-1
∴x=log4（y+1）
函数y=4x-1的反函数为y=log4（x+1）
故答案为：log4（x+1）．
f(x)=
正确答案
因为f(x)=
所以f（x）在该区间[-1，2]上单调，
则f'（x）=x2-2x+a≥0在[-1，2]上恒成立，
得a≥1
或在f'（x）=x2-2x+a≤0上恒成立，
得a≤-3．
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）．
设函数
正确答案
本题考查互为反函数的函数图象间的关系
因为
设
所以
故
为研究“原函数与其反函数的图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们分三步研究：
（1）首先选取如下函数：y=2x+1，y=
（2）观察分析上述结果得到研究结论；（3）对得到的结论进行证明．
正确答案
（1）y=2x+1与其反函数y=
（2）原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上． …（10分）
（3）设点（a，b）是f（x）的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线y=x对称，
则点（b，a）也是f（x）的图象与其反函数图象的交点，且有b=f（a），a=f（b）．…（12分）
①若a=b，交点显然在直线y=x上．…（13分）
②若a＜b且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而有b＜a，与a＜b矛盾；若b＜a且f（x）是增函数
时，有f（a）＜f（b），从而有a＜b，与b＜a矛盾．…（15分）
③若a＜b且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而有a＜b成立，此时交点不在直线y=x上；
同理，若b＜a且f（x）是减函数时，交点也不在直线y=x上．…（17分）
综上，若函数f（x）是增函数，且f（x）的图象与其反函数的图象有交点，则交点一定在直线y=x上；若
函数f（x）是减函数，且f（x）的图象与其反函数的图象有交点，则交点不一定在直线y=x上． （18分）
若函数
正确答案
令
函数f(x)=(
正确答案
∵y=(
1
2
)x+1(x＞-2)，
∴1＜y＜5，
(
1
2
)x=y-1，x=log
把x，y互换，
得到函数f(x)=(
1
2
)x+1(x＞-2)的反函数是f(x)=log12(x-1) (1＜x＜5)．
故答案为：f(x)=log12(x-1) ，(1＜x＜5)．
已知函数y=2x-a的反函数是y=bx+3，则a=______；b=______．
正确答案
法一：函数y=2x-a的反函数为y=
法二：在y=bx+3上取点（0，3），得点（3，0）在y=2x-a上，
故得a=6；又y=2x-6上有点（0，-6），则点（-6，0）在y=bx+3
由此可得a=6，b=
答案：a=6；b=
已知函数f(x)=
正确答案
∵函数y=g（x）的图象与y=f-1（x-1）的图象关于直线y=x对称，
∴函数y=g（x）与y=f-1（x-1）互为反函数
而y=f-1（x-1）的图象是把y=f-1（x）的图象向右平移一个单位
故函数y=g（x）的图象可由函数f(x)=
即y=g（x）=
故答案为：
函数y=f（x）在定义域（-∞，0）内存在反函数，且f（x）=x2-1，则f-1（3）=______．
正确答案
令f（x）=3，即x2-1=3得：x=-2（正值舍掉）
则f-1（3）=-2．
故答案为：-2．
若函数y=
正确答案
由y=
故函数y=
∵函数y=
∴函数y=
由
得a=1．
答：a=1．
(本小题满分12分)
已知
(1)求
(2)若
(3)若
正确答案
(1) 
(2)
(3)
（1)
（2) 
（3）a>1时，
即
得
函数y=ex+1的反函数是______．
正确答案
由y=ex+1得：x+1=lny，
即x=-1+lny，
所以y=-1+lnx（x＞0）为所求，
故答案为：f-1（x）=lnx-1 （x＞0）．
扫码查看完整答案与解析