基本初等函数（1）_章节学习

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题型：填空题

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填空题

对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f-1（x），且f-1（[0，1））=[1，2），f-1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）-x=0有解x0，则x0=22．

正确答案

因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f-1（[0，1））=[1，2），f-1（2，4]）=[0，1），

所以对于函数f（x），

当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解；

当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x无解；

所以当x∈[0，2）时方程f（x）-x=0即f（x）=x无解，

又因为方程f（x）-x=0有解x0，且定义域为[0，3]，

故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），

故若f（x0）=x0，只有x0=2，

故答案为：2．

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题型：简答题

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简答题

已知函数，其中，

（Ⅰ）在下面坐标系上画出y=f（x）的图象；

（Ⅱ）设的反函数为y=g（x），a1=1，a2=g（a1），…，an=g（an-1），求数列

{an}的通项公式，并求；

（Ⅲ）若，x1=f（x0），f（x1）=x0，求x0。

正确答案

解：（Ⅰ）函数图象：

说明：图象过点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段。

（Ⅱ）f2(x)=-2x-2，的反函数为：，

由已知条件得：，，

，

……

∴，

即，

∴；

（Ⅲ）由已知，

∴，

由的值域，得，

∴，

由，整理得，

解得，

因为，

所以。

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题型：填空题

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填空题

设函数y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1确定，下列结论正确的是（）（请将你认为正确的序号都填上）

①f（x）是R上的单调递减函数；

②对于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；

③对于任意a∈R，关于x的方程f（x）=a都有解；

④f（x）存在反函数f-1（x），且对于任意x∈R，总有f（x）= f-1（x）成立。

正确答案

①②③④

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题型：填空题

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填空题

设函数y=4+log2(x-1)(x≥3)，则其反函数的定义域为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

函数y=2x的反函数是（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=3x+1+9x-12的反函数是f-1（x）．

（1）求f-1（6）的值；

（2）要使f-1（a）有意义，求a的取值范围．

正确答案

（1）令3x+1+9x_12=6…（4分）

解得3x=3或3x=-6（舍去）

解得x=1…（5分）

即f -1（6）=1…（6分）

（2）令 3x+1+9x-12=a，…（9分）

即a=(3x+

3

2

)2-＞-12注意到（3x＞0），…（11分）

∴a∈（-12，+∞）时，f-1（a）有意义．…（13分）

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题型：填空题

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填空题

若函数y=f（x）是函数y=ax（0＜a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则函数y=f（x+-3）的值域为 ______．

正确答案

函数y=f（x）是函数y=ax（0＜a≠1）的反函数是：

y=logax，

∵其图象经过点（，a），

∴loga=a，⇒a=，

函数y=f（x+-3）=log12（x+-3）

∵x+-3≥2-3=1

∴log12（x+-3）≤0．

则函数y=f（x+-3）的值域为：（-∞，0]

故答案为：（-∞，0]．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=2x+1，则其反函数f-1（x）=______．

正确答案

令y=f（x）=2x+1，

由有x=log3（y-1），y＞1

故函数的反函数的解析式是y=log2（x-1），x＞1

故答案为：log2（x-1）（x＞1）．

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题型：填空题

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填空题

幂函数f（x）的图象过点（2，），则f-1（4）=______．

正确答案

由题意设幂函数为f（x）=xa，因为幂函数f（x）的图象过点（2，），

所以a=-．

则4=x-12，所以x=．即f-1（4）=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知函数，（x≠0）（a≠0），

（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；

（2）已知当a＞0时，函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；

（3）若函数f（x）在区间内有反函数，试求出实数a的取值范围。

正确答案

解：（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为；

②当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间为；

③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为。

（2）由题设及(1)中③知，且a＞1，解得a=3，

因此函数解析式为；

（3）1#当时，

由图象知，解得；

2#当a=1时，函数为正比例函数，故在区间内存在反函数，所以a=1成立；

3#当，得到；

综上，。

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2x+1，将函数y=f-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到y=g（x）的图象。

（1）写出y=g（x）的解析式；

（2）求F（x）=g（x2）-f-1（x）的最小值。

正确答案

解：（1），

向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到，

∴，

即。

（2），

当且仅当即时，。

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题型：简答题

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简答题

设，g（x）是f（x）的反函数。

（Ⅰ）求g（x）；

（Ⅱ）当x∈[2，6]时，恒有成立，求t的取值范围；

（Ⅲ）当时，试比较f（1）+f（2）+…+f（n）与n+4的大小，并说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得

故；

（Ⅱ）由得

①当时，

又因为

所以

令

则

列表如下：

所以h（x）最小值=5，所以0

当时，

又因为x∈ [2，6]

所以t>（x-1）2（7-x）>0

令h（x）=（x-1）2（7-x），x∈[2，6]，

由①知h（x）最大值=32

所以t>32

综上，当a>1时，0

当032。

（Ⅲ）设，则

当时，

当n≥2时，设k≥2，k∈N*时

则

所以

从而

所以f（1）+f（2）+…+f（n）

综上，总有，f（1）+f（2）+…+f（n）< n+4。

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题型：简答题

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简答题

设(a＞0，且a≠1)，g(x)是f(x)的反函数，

(Ⅰ)设关于x的方程在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；

(Ⅱ)当a=e(e为自然对数的底数)时，证明：；

(Ⅲ)当0＜a≤时，试比较|-n|与4的大小，并说明理由．

正确答案

解：(Ⅰ)由题意，得，

故，

由得，

则，

列表如下：

所以t最小值=5，t最大值=32，

所以t的取值范围为[5，32]。

(Ⅱ)

，

令，

则，

所以u(x)在(0，+∞)上是增函数，

又因为，

所以，

即，即。

(Ⅲ)设，则，

当n=1时，；

当n≥2时，设k≥2，k∈N*时，

则，

所以，

从而1，

所以；

综上，总有。

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题型：单选题

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单选题

已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（　　）

A函数图象经过点（-1，1）

B当x∈[-1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]

C函数满足f（x）+f（-x）=0

D函数f（x）的单调减区间为（-∞，0]

正确答案

C

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题型：单选题

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单选题

幂函数的图像过点（2，4）,则它的单调递增区间是

A（1，＋∞）

B（0，＋∞）

C（－∞，0）

D（－∞，＋∞）

正确答案

B

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