- 基本初等函数（1）
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某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元．
（1）要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买多少吨？
（2）要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围？
正确答案
一邮递员以每小时5公里的速度用3小时由邮政总局到达分局，在分局停留2小时后，再以每小时3公里的速度返回总局，写出邮递员在运动过程中，到总局的距离y与运动时间x的函数关系式 ______，并写出定义域 ______．
正确答案
当0≤x＜3，y=5x，当3≤x＜5，y=15，
当5≤x＜10，y=15-3（x-5）=30-3x，
即y=
故答案为：y=
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低0.05元，则可多销售40瓶． 据此请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和每月购进多少瓶该种饮料，才能获得最大利润？
正确答案
1995年我国人口总数是12亿．如果人口的年自然增长率控制在2%，问哪一年我国人口总数将超过16亿？（lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg1.02=0.0086）
正确答案
设x年后人口总数为16亿，依题意知：12（1+0.02）x=16，
即1.02x=
两边取以10为底的对数得：xlg1.02=lg
∴x=
所以15年后，即2010年我国人口总数将超过16亿．
甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？
正确答案
（1）设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n+
整理得n2+13n-140=0，解得n=7，n=-20（舍）
第1次相遇是在开始后7分钟．
（2）设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n+
整理得n2+13n-420=0，解得n=15，n=-28（舍）
第2次相遇是在开始后15分钟．
某城市现有人口总数为100万人，如果年平均自然增长率为1.2%，
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年后该城市的人口总数（精确到0.1万人）；（参考数据1.01210≈1.1267）
（3）大约多少年后该城市将达到120万人（精确到1年）？（参考数据log1.0121.2≈15.3）
正确答案
（1）一年后，该城市人口总数y=100•（1+0.012），
二年后，该城市人口总数y=100•（1+0.012）2，…，
x年后，该城市人口总数：y=100•（1+0.012）x（x∈N）（2分）
（2）当x=10时，y=100×（1.012）10≈112.7（万人）（4分）
∴10年后该城市的人口总数约为：112.7万人．
（3）当y=120时，120=100•（1.012）x，
∴1.2=1.012x，
∴x=log1.0121.2≈15.3．（6分）．
∴大约15年后该城市将达到120万人．
已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b（b≥
正确答案
设销售价为x元/件，它比售价b元下降了10y%，
从而x=b（1-10y%），故10y%=
由题意此时可卖出m件，则m=c（1+40y%）=c+4c
从而利润L（x）=（x-a）（ c+4c
令L′（x）=-
当x∈（a，
因此x=
所以，销售价为
答：销售价为
在世博会后，昆明世博园作为一个旅游景点吸引四方宾客．按规定旅游收入除上缴25%的税收外，其余自负盈亏．目前世博园工作人员维持在400人，每天运营成本20万（不含工作人员工资），旅游人数x与人均消费额t（元）的关系是：x=
（1）若游客在1000人到4000人之间（x∈[1000，4000]），按人均消费额计算，求当天的旅游收入范围；
（2）要使工作人员平均每人每天的工资不低于50元且维持每天正常运营（不负债），每天的游客应不少于多少人？
正确答案
（1）设当天的旅游收入为y，
则y=xt=
由x∈[1000，4000]，得：t∈[150，200]，
∴y=-60t2+13000t∈[200000，600000]，即当天的旅游收入是20万到60万．
（2）工作人员每天的工资至少2万，每天运营成本20万，即每天的旅游收入上缴25%的税收后应不低于22万，
由（-2250t2+122500t）×75%≥220000，⇒10≤t≤50；
由（-60t2+13000t）×75%≥220000，⇒50＜t≤191，∴10≤t≤191．
即xmin=1540，∴每天的游客应不少于1540人．
一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s2的加速度匀加速开始行驶，恰在此时，一辆自行车以6m/s的速度同向匀速驶来，从后面超过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前，经过多长时间两车距离最远？最远距离是多少？
正确答案
设汽车开始发动时计时，经x秒后，汽车经过的路程为y1=
∴两车距离为y=6x-
∴x=2时，ymax=6
∴经过2秒两车距离最远，最远距离为6米．
已知函数f(x)=
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判定函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（3）若f(2x)=
正确答案
（1）由函数f(x)=
（2）由于函数的定义域关于原点对称，f(-x)=
故函数f（x）是奇函数．
（3）由于f(2x)=
2
)x=
某个体经营者，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余款作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续．问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？假设银行贷款的年利息为5%，该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：1.1810≈5.23，1.1811≈6.18，1.1812≈7.29．结果精确到0.1元）
正确答案
第一个月月底的余款
a1=10000×（1+20%）-10000×20%×10%-540=11260（元）．
设第n个月月底的余款为an元，第n+1个月月底的余款为an+1元，
则有an+1=an×（1+20%）-an×20%×10%-540=1.18an-540．
令（an+1-t）=1.18（an-t），得0.18t=540
∴t=3000
从而有a n+1-3000=1.18（an-3000），
设bn=an-3000，b1=7000，
∴{bn}是等比数列bn=b 1×1.18n-1，
∴an=7000×1.18n-1+3000，
a12=7000×1.18 11+3000≈46260，
还贷后纯收入为46260-10000（1+5%）=35760元．
即还清银行贷款以后还有35760元．
销售甲、乙两种商品所得利润分别为P万元、Q万元，它们与投入资金t万元的关系有经验公式P=
正确答案
（1）x=2时，P=
∴y=P+Q=1（万元）
(2)y=
(3)令
y=
当t=
答：甲投入
我国是水资源比较贫乏的国家之一．目前，某市就节水问题，召开了市民听证会，并对水价进行激烈讨论，会后拟定方案如下：以户为单位，按月收缴，水价按照每户每月用水量分三级管理，第一级为每月用水量不超过12吨，每吨3.5元；第二级计量范围为超过12吨不超过18吨部分，第三级计量范围为超出18吨的部分，一、二、三级水价的单价按1：3：5计价．
（1）请写出每月水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系；
（2）某户居民当月交纳水费为63元，该户当月用水多少吨？
正确答案
（1）根据第一级为每月用水量不超过12吨，每吨3.5元；第二级计量范围为超过12吨不超过18吨部分，第三级计量范围为超出18吨的部分，一、二、三级水价的单价按1：3：5计价，可得
y=
（2）由题意10.5x-84=63，解得x=14，…（11分）
答：该用户当月用水14吨． …（12分）
已知关于x的不等式2ax2-3x+6＞16的解集是{x|x＜1或x＞b}
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若c＞1，解关于x的不等式
正确答案
（Ⅰ）原不等式可化为2 ax2-3x+6＞24⇔ax2-3x+2＞0
由题设x=1是方程ax2-3x+2=0的解，
∴a12-3×1+2=0，得a=1．…（4分）
原不等式等价于x2-3x+2＞0⇔x＜1或x＞2，
∴b=2．…（6分）
（Ⅱ）由a=1，b=2，得原不等式为
又c＞1
∴当1＜c＜2时，不等式的解集为{x|1＜x＜c，或x＞2}；…（10分）
当c≥2时，不等式的解集为{x|1＜x＜2，或x＞c}…（12分）
已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t（单位时间）之间的关系为y=f（t）=
（Ⅰ）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f（t）；
（Ⅱ）若定义在区间[x1，x2]上的平均学习效率为η=
正确答案
（Ⅰ）由题意得
整理得
所以“学习曲线”的关系式为y=
（Ⅱ）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为η，则η=
令u=2-0.5x，则η=
显然当
将u=
所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高．
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