双曲线的几何性质
共199题

· 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.

23.若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

24.设若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

双曲线的渐近线方程为

解析

解：设．

由题意，，，，

因为是等边三角形，所以，

即，解得．

故双曲线的渐近线方程为．

考查方向

直线与圆锥曲线的位置关系

解题思路

利用等边三角形的性质和双曲线中，得到参数的关系，求出参数

易错点

弦长的运算

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

斜率为．

解析

解：

由已知，．

设，，直线．

由，得．

因为与双曲线交于两点，所以，且．

由，，得，

故，

解得，故的斜率为．

考查方向

直线与圆锥曲线的位置关系

解题思路

联立方程组，根据弦长公式求出斜率.

易错点

弦长的运算

题型：填空题

填空题 · 5 分

3.在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是．

正确答案

；

解析

，因此焦距为．

考查方向

双曲线性质

解题思路

根据双曲线的性质以及求解。

易错点

双曲线中，不要与椭圆中的关系混淆。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

5. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=( )

正确答案

解析

因为抛物线的焦点，又因为曲线与交于点，轴，x=1代入抛物线，所以点P（1,2）代入，，所以，故选D.

考查方向

抛物线的性质，反比例函数的性质，考察运算求解能力。

解题思路

抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 求解焦点，公共点的坐标同时满足两个方程，

易错点

x=1代入抛物线可以求出两个y，根据范围正确取舍。

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．

正确答案

解析

由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与联立得,显然,所以由 .

考查方向

本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．

解题思路

求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.

易错点

导数几何意义的理解运用

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

3．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）

A11

正确答案

解析

由双曲线定义得，即，解得，故选B．

考查方向

双曲线的标准方程和定义．

解题思路

确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论。

易错点

计算能力弱，双曲线焦点坐标不会求

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．

正确答案

解析

根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得.所以双曲线的方程为.

考查方向

本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．

解题思路

本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x轴上,还是在y轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x轴上,还是在y轴上.一般的结论是：以为渐近线的双曲线的方程可设为.

易错点

巧妙设出双曲线方程

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则双曲线的离心率为

正确答案

解析

由题意得，所以，所以，故选D选项。

考查方向

本题主要考察双曲线的性质，意在考察考生的运算求解能力。

解题思路

直接根据题意得到a,b,c之间的关系即可得到答案。

易错点

弄错渐近线方程导致结果出错。

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

9.已知点分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）

正确答案

解析

∵过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若，∴△为等腰三角形，锐角，即，，解得，又，所以选项C为正确选项

考查方向

本题主要考查了双曲线几何性质,属于中档题，是高考的热点

解题思路

过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若可知△为等腰三

角形，锐角为即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

易错点

本题不会通过，找出不等关系求出e的取值范围

知识点

平面向量数量积的运算双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.已知F是双曲线C：x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0,6）.当△APF周长最小是，该三角形的面积为( )

正确答案

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

9.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位

长度，得到离心率为的双曲线，则

A对任意的，

B当时，；当时，

C对任意的，

D当时，；当时，

正确答案

解析

不妨设双曲线的焦点在x轴上，即其方程为：，则双曲线方程为，所以，当时，，所以，同理当可得。

考查方向

1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；

解题思路

分别表示出离心率再去比较大小。

易错点

计算量大计算不出来。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

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