双曲线的几何性质
共199题

· 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：的离心率为，右顶点。

(1)求椭圆C的方程；

(2)在轴上是否存在定点，使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）；（2）存在定点(1,0)。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的位置关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接根据已知条件构造方程即可解出；（2）设而不求的方法得到一个等式后可以解出m的值。

(1)由得，所以椭圆的方程为

(2)设,直线l的方程设为,与椭圆的方程联立得:

所以

从而,整理得:

解得: (舍去)或

故在轴上是否存在定点(1,0), 使得过M的直线l交椭圆于B、D两点，且恒成立.

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）直接根据已知条件构造方程即可解出；（2）设而不求的方法得到一个等式后可以解出m的值。

易错点

第2问不会用设而不求的方法来解答。

知识点

双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知定点的坐标为，点是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为．

正确答案

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义和数形结合思想,属于比较灵活的题，常考的题型有求方程、离心率的值或范围、中点弦，面积等问题。

解题思路

本题主要考查了双曲线的定义和数形结合思想，解题步骤如下：

易错点

本题难在定义的应用和几何关系的寻找。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点P，切点为T，的中点为M，则_____________．

正确答案

解析

连接,由双曲线的定义可知，而,又,所以。

考查方向

双曲线的定义及其计算。

解题思路

本题考查双曲线的定义与圆的切线性质最后利用转化思想来求解。

易错点

要求解的问题不会转化。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

8．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

正确答案

解析

抛物线的焦点为（3，0），所以c=3，而a=2，则，一条渐近线方程为，用点到直线的距离公式可以求得。

考查方向

圆锥曲线的性质。

解题思路

由抛物线的方程求出焦点然后进一步求出双曲线中的未知数b，然后利用点到直线的距离公式即可解出。

易错点

焦点求错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为

正确答案

解析

双曲线的两条渐近线为即，圆的圆心为（-3,0），半径为2，由题意得到：c=3,且，所以双曲线的方程为，故选A。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和数形结合的能力。

解题思路

将双曲线的渐近线、圆的圆心和半径都表示出来；根据题意列式求解即可。

易错点

题中给出的渐近线方程求错；不会转化题中与圆相切的条件导致运算麻烦。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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