双曲线的几何性质
共199题

· 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．如图已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，设，若为正三角形且周长为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知垂直于轴的直线交椭圆于不同的两点，且分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线与交于点，求证：点在双曲线上；

（3）在的条件下，过点作斜率为的直线，设原点到直线的距离为，求的取值范围。

正确答案

（1）由题设得

解得：，

故的方程为．

（2）证明：

①

直线的方程为 ②

①×②，得 ③

，

代入③得，即，

因为点是直线与的交点，所以

即点在双曲线上

（3）设直线

结合第（2）问的结论，整理得：

且

所以的取值范围是

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

双曲线的离心率为（） .

正确答案

解析

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

在平面直角坐标系下，曲线，曲线.若曲线有公共点，则实数的取值范围是____________，

正确答案

（或）

解析

化为普通方程后，圆心到直线的距离小于或等于圆的半径（），解不等式即可

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是。

正确答案

解析

略

知识点

点到直线的距离公式双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点，求实数的取值范围；

（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值。

正确答案

（1）（2）（3）

解析

（1）由题知，有

解得

因此，所求双曲线的方程是

（2） ∵直线过点且斜率为，

∴直线：，

联立方程组得，

又直线与双曲线有两个不同交点，

∴

解得。

（3）设交点为，由（2）可得

又以线段为直径的圆经过坐标原点，

因此，为坐标原点），

于是，即，，

，　解得，

又满足，且，

所以，所求实数

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）。

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

设为曲线C：上的点，且曲线C在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为 ( )

正确答案

解析

：设点P的横坐标为x0，

∵y=x2+2x+3，

∴y'=2x0+2，

利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），

又∵，∴0≤2x0+2≤1，

∴

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面底面ABCD，且，若E,F分别为PC,BD的中点.

（1）求证：EF//平面PAD；

（2）求三棱锥F-DEC的体积；

（3）在线段CD上是否存在一点G，使得平面平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

设点P是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

略。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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