双曲线的几何性质
共199题

· 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．如图已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，设，若为正三角形且周长为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知垂直于轴的直线交椭圆于不同的两点，且分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线与交于点，求证：点在双曲线上；

（3）在的条件下，过点作斜率为的直线，设原点到直线的距离为，求的取值范围。

正确答案

（1）由题设得

解得：，

故的方程为．

（2）证明：

①

直线的方程为 ②

①×②，得 ③

，

代入③得，即，

因为点是直线与的交点，所以

即点在双曲线上

（3）设直线

结合第（2）问的结论，整理得：

且

所以的取值范围是

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

双曲线的离心率为（） .

正确答案

解析

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是。

正确答案

解析

略

知识点

点到直线的距离公式双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是。

（1）求双曲线的方程；

（2）若过点且斜率为的直线与双曲线有两个不同交点，求实数的取值范围；

（3）设（2）中直线与双曲线交于两个不同点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值。

正确答案

（1）（2）（3）

解析

（1）由题知，有

解得

因此，所求双曲线的方程是

（2） ∵直线过点且斜率为，

∴直线：，

联立方程组得，

又直线与双曲线有两个不同交点，

∴

解得。

（3）设交点为，由（2）可得

又以线段为直径的圆经过坐标原点，

因此，为坐标原点），

于是，即，，

，　解得，

又满足，且，

所以，所求实数

知识点

双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为（）

正确答案

解析

略

知识点

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