- 等比数列的性质及应用
- 共160题
已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和。
正确答案
(1) an=-3n+5或an=3n-7 ;(2)
解析
(1)设等差数列{|an|}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d,
由题意得解得或
所以由等差数列通项公式可得
an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5或an=3n-7.
(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列,不满足条件;
当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件。
故|an|=|3n-7|=
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n=1时,S1=|a1|=4;
当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,
Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=.
当n=2时,满足此式。
综上,
知识点
在无穷数列中,,对于任意,都有,,设,记使得成立的的最大值为。
(1)设数列为,,,,,写出,,的值;
(2)若为等比数列,且,求的值;
(3)若为等差数列,求所有可能的数列。
正确答案
见解析
解析
(1)解:,,. ……………… 3分
(2)解:因为为等比数列,,,
所以, ……………… 4分
因为使得成立的的最大值为,
所以,,,,
,, ……………… 6分
所以. ……………… 8分
(3)解:由题意,得,
结合条件,得. ……………… 9分
又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为,
所以,. ……………… 10分
设,则.
假设,即,
则当时,;当时,.
所以,.
因为为等差数列,
所以公差,
所以,其中.
这与矛盾,
所以. ……………… 11分
又因为,
所以,
由为等差数列,得,其中. ……………… 12分
因为使得成立的的最大值为,
所以,
由,得. ……………… 13
知识点
已知数列的相邻两项是关于的方程的两根,且。
(1)求证: 数列是等比数列;
(2)设是数列的前项和,求;
(3)问是否存在常数,使得对任意都成立,若存在,求出的取值范围; 若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵an,an+1是关于x的方程的两实根,
∴
∵。
故数列是首项为,公比为﹣1的等比数列。
(2)解:由(1)得,即
∴
=。
因此,
要使bn>λSn,对∀n∈N*都成立,
即(*)
①当n为正奇数时,由(*)式得:
即,
∵2n+1﹣1>0,∴对任意正奇数n都成立,
因为为奇数)的最小值为1,所以λ<1。
②当n为正偶数时,由(*)式得:,即
∵2n﹣1>0,∴对任意正偶数n都成立,
∵为偶数)的最小值为,∴。
∴存在常数λ,使得bn>λSn对∀n∈N*都成立时λ的取值范围为(﹣∞,1)
知识点
过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,若三点的横坐标成等比数列,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
略
知识点
设为等比数列的前n项和,则
正确答案
解析
通过,设公比为,将该式转化为,解得=-2,带入所求式可知答案选A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
知识点
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*。
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。
正确答案
(1)an=4n-1,n∈N*, bn=2n-1,n∈N*(2)Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*
解析
(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1。
所以an=4n-1,n∈N*。
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*。
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*。
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5。
故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*
知识点
若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=__________;前n项和Sn=__________.
正确答案
2;2n+1-2
解析
根据等比数列的性质知a3+a5=q(a2+a4),
∴q=2,又a2+a4=a1q+a1q3,故求得a1=2,
∴Sn==2n+1-2.
知识点
设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( )。
正确答案
解析
=3-2an,故选D.
知识点
若,则“ ”是“ ”的( )条件
正确答案
解析
故为充分非必要条件,选A。
知识点
定义:若各项为正实数的数列满足,则称数列为“算术平方根递推数列”.
已知数列满足且点在二次函数的图像上.
(1)试判断数列是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由;
(2)记,求证:数列是等比数列,并求出通项公式;
(3)若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且数列各项的和为,求正整数的值。
正确答案
(1)数列是算术平方根递推数列(2)(3)
解析
(1)答:数列是算术平方根递推数列.
理由:在函数的图像上,
,.
又,
∴,
∴数列是算术平方根递推数列.
证明(2) ,
.
又,
数列是首项为,公比的等比数列.
.
(3)由题意可知,无穷等比数列的首项,公比,
,
化简,得,
若,则.这是矛盾!
.
又时,,
.
.
知识点
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