- 等比数列的性质及应用
- 共160题
在数列,
中,已知
,
,且
,
,
成等差数列,
,
,
也成等差数列。
(1)求证:是等比数列;
(2)设是不超过100的正整数,求使
成立的所有数对
。
正确答案
见解析。
解析
(1)由,
,
成等差数列可得,
,①
由,
,
成等差数列可得,
, ②
①②得,
,
所以是以6为首项、
为公比的等比数列,
(2)由(1)知,,③
①②得,
, ④
③④得,
,
代入,得
,
所以,
整理得,,
所以,
由是不超过100的正整数,可得
,
所以或
,
当时,
,此时
,则
,符合题意;
当时,
,此时
,则
,符合题意。
故使成立的所有数对
为
,
。
知识点
函数,在各项均为正数的数列
中对任意的
都有
成立,则数列
的通项公式为______
正确答案
解析
,由
得
为对称轴,所以数列
是以
公差为
的等差数列.故
,
知识点
已知数列,
满足
,
,
,
。
(1)求证:数列是等差数列,并求数列
的通项公式;
(2)设数列满足
,对于任意给定的正整数
,是否存在正整数
,
(
),使得
,
,
成等差数列?若存在,试用
表示
,
;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为,所以
,
则,
所以,
又,所以
,故
是首项为
,公差为
的等差数列,
即,所以
。
(2)由(1)知,所以
,
①当时,
,
,
,
若,
,
成等差数列,则
(
),
因为,所以
,
,
,
,
所以()不成立。
②当时,若
,
,
成等差数列,
则,所以
,
即,所以
,
欲满足题设条件,只需,此时
,
因为,所以
,
,
即。
综上所述,当时,不存在
,
满足题设条件;
当时,存在
,
,满足题设条件。
知识点
已知数列中,
,
。
(1)试求的值,使数列
是一个常数列;
(2)试求的取值范围,使得数列
是单调增数列;
(3)若不为常数列,设
,
为数列
的前
项和,请你写出
的一个值,使得
恒成立,并说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由(2分)及
得
.
时,
为常数数(4分)
(2)=
.
,
与
同号, (6分)
要使对任意正整数n都成立,只须
即
, (8分)
解得,
当
时,
对任何正整数
成立, (10分)
(3)选取时(注:
可取
内的任意一个实数值),
由(2)的结论知. (12分)
(14分)
又解得
,(16分)故
.(18分)
知识点
某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床,
型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为
型车床所创造价值的第一年),若第1年
型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年
型车床创造的价值是上一年价值的50%,现用
表示
型车床在第
年创造的价值。
(1)求数列的通项公式
;
(2)记为数列
的前
项的和,
,企业经过成本核算,若
万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列
是单调递减数列,则数列
也是单调递减数列)。
正确答案
见解析
解析
(1)由题设,知,
,…,
构成首项
,公差
的等差数列。
故(
,
)(万元)。 (3分)
,
,…,
(
,
)构成首项
,公比
的等比数列。
故(
,
)(万元), (6分)
于是,(
)(万元), (7分)
(2)由(1)知,是单调递减数列,于是,数列
也是单调递减数列。
当时,
,
单调递减,
(万元)。
所以(万元)。
当时,
, (9分)
当时,
(万元);当
时,
(万元), (13分)
所以,当,
时,恒有
。
故该企业需要在第11年年初更换型车床, (14分)
知识点
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