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题型:简答题
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简答题 · 16 分

在数列中,已知,且成等差数列,也成等差数列。

(1)求证:是等比数列;

(2)设是不超过100的正整数,求使成立的所有数对

正确答案

见解析。

解析

(1)由成等差数列可得,,①

成等差数列可得,,     ②

②得,

所以是以6为首项、为公比的等比数列,

(2)由(1)知,,③

②得,,  ④

④得,

代入,得

所以

整理得,

所以

是不超过100的正整数,可得

所以

时,,此时,则,符合题意;

时,,此时,则,符合题意。

故使成立的所有数对

知识点

等比数列的性质及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

函数,在各项均为正数的数列中对任意的都有成立,则数列的通项公式为______

正确答案

解析

,由为对称轴,所以数列是以公差为的等差数列.故,

知识点

等比数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知数列满足

(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;

(2)设数列满足,对于任意给定的正整数,是否存在正整数(),使得成等差数列?若存在,试用表示;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)因为,所以

, 

所以

,所以,故是首项为,公差为的等差数列,  

,所以。      

(2)由(1)知,所以

①当时,

成等差数列,则),

因为,所以

所以()不成立。                               

②当时,若成等差数列,

,所以

,所以,     

欲满足题设条件,只需,此时,     

因为,所以

。                                      

综上所述,当时,不存在满足题设条件;

时,存在,满足题设条件。

知识点

等比数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

已知数列中,

(1)试求的值,使数列是一个常数列;

(2)试求的取值范围,使得数列是单调增数列;

(3)若不为常数列,设为数列的前项和,请你写出的一个值,使得恒成立,并说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由(2分)及.时,为常数数(4分)

(2)=.

同号,            (6分)

要使对任意正整数n都成立,只须,  (8分)

解得时,对任何正整数成立,   (10分)

(3)选取时(注:可取内的任意一个实数值),

由(2)的结论知.                                       (12分)

                (14分)

解得,(16分)故.(18分)

知识点

等比数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床,型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年),若第1年型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年型车床创造的价值是上一年价值的50%,现用表示型车床在第年创造的价值。

(1)求数列的通项公式

(2)记为数列的前项的和,,企业经过成本核算,若万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列是单调递减数列,则数列也是单调递减数列)。

正确答案

见解析

解析

(1)由题设,知,…,构成首项,公差的等差数列。

)(万元)。                         (3分)

,…,)构成首项,公比的等比数列。

)(万元),                (6分)

于是,)(万元),              (7分)

(2)由(1)知,是单调递减数列,于是,数列也是单调递减数列。

时,单调递减,(万元)。

所以(万元)。

时,,        (9分)

时,(万元);当时,(万元),     (13分)

所以,当时,恒有

故该企业需要在第11年年初更换型车床,             (14分)

知识点

等比数列的性质及应用
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