- 等比数列的性质及应用
- 共160题
设同时满足条件:①;②
(
,
是与
无关的常数)的无穷数列
叫“嘉文”数列.已知数列
的前
项和
满足:
(
为常数,且
,
),
(1)求的通项公式;
(2)设,若数列
为等比数列,求
的值,并证明此时
为“嘉文”数列。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为所以
当时,
,即
以
为首项,
为公比的等比数列,
∴; ……………………………………………4分
(2)由(1)知,,
若为等比数列,则有
,而
,
,
故,解得
………………………………7分
再将代入得:
,其为等比数列, 所以
成立…………8分
由于①…………………10分
(或做差更简单:因为,所以
也成立)
②,故存在
;
所以符合①②,故为“嘉文”数列………………………………………12分
知识点
已知数列是各项均不为 0的等差数列,公差为d ,
为其前 n 项和,且满足
, .数列
满足
,
为数列
的前n项和.
(1)求数列 的通项公式
和数列
的前n项和
;
(2)若对任意的 ,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数m,n ,使得
成等比数列?若存在,求出所有m,n
的值;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析
解析
(1)(法一)在中,令
,
,
得 即
解得,
,
又时,
满足
,
,
,
(法二)是等差数列,
,
由,得
,
又,
,则
,
(求法同法一)
(2)①当为偶数时,要使不等式
恒成立,即需不等式
恒成立,
,等号在
时取得,
此时
需满足
,
②当为奇数时,要使不等式
恒成立,即需不等式
恒成立,
是随
的增大而增大,
时
取得最小值
,
此时
需满足
,
综合①、②可得的取值范围是
,
(3),
若成等比数列,则
,
即,
由,可得
,即
,
,
又,且
,所以
,此时
。
因此,当且仅当,
时,数列
中的
成等比数列
[另解:因为,故
,即
,
,(以下同上)
知识点
已知数列,其前n项和Sn满足
是大于0的常数),且a1=1,a3=4.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式an;
(3)设数列的前n项和为Tn,试比较
与Sn的大小。
正确答案
见解析。
解析
(1)解:由得
,
(2)由,
∴数列{}是以S1+1=2为首项,以2为公比的等比数列,
当n=1时a1=1满足
(3)①
,②
①-②得,
则.
当n=1时,
即当n=1或2时,当n>2时,
知识点
设正项等比数列{an}的首项,前n项和为Sn,且210S30﹣(210+1)S20+S10=0。
(1)求{an}的通项;
(2)求{nSn}的前n项和Tn。
正确答案
见解析
解析
(1)由210S30﹣(210+1)S20+S10=0得210(S30﹣S20)=S20﹣S10,
即210(a21+a22+…+a30)=a11+a12+…+a20,
可得210•q10(a11+a12+…+a20)=a11+a12+…+a20。
因为an>0,所以210q10=1,解得,因而
(2)由题意知
则数列{nSn}的前n项和,
前两式相减,得=
即
知识点
设公比不为1的等比数列{an}满足:a1,a3,a2成等差数列。
(1)求公比q的值;
(2)证明:成等差数列。
正确答案
见解析。
解析
(1),
(舍)
(2),
,
∴成等差数列
知识点
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