函数的极值与导数的关系
共7619题

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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-2时取得极值，且图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．

（I）求函数y=f（x）的解析式；

（II）讨论函数y=f（x）的单调性，并求函数y=f（x）在区间[-3，3]上的最值及相应x的值．

正确答案

解：（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0

即12-4a+b=0①

∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=-3，f（1）=0

即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0

由①②解得a=1，b=-8，c=6

∴f（x）=x3+x2-8x+6

（II）f′（x）=3x2+2x-8，令f′（x）＞0，解得，x＞，或x＜-2

令f′（x）＜0，解得，-2＜x＜，

∴函数的增区间为（-∞，-2）和（，+∞）

函数的减区间为（-2，）

∴当x=-2时，函数有极大值为18，当x=时，函数有极小值为

又∵f（-3）=12，f（3）=18

∴当x=时，函数有最小值，当x=-2或3时，函数有最大值18

解析

解：（I）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=-2时取得极值，∴f′（-2）=0

即12-4a+b=0①

∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=-3，f（1）=0

即 3+2a+b=-3②，1+a+b+c=0

由①②解得a=1，b=-8，c=6

∴f（x）=x3+x2-8x+6

（II）f′（x）=3x2+2x-8，令f′（x）＞0，解得，x＞，或x＜-2

令f′（x）＜0，解得，-2＜x＜，

∴函数的增区间为（-∞，-2）和（，+∞）

函数的减区间为（-2，）

∴当x=-2时，函数有极大值为18，当x=时，函数有极小值为

又∵f（-3）=12，f（3）=18

∴当x=时，函数有最小值，当x=-2或3时，函数有最大值18

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3+3ax2+b有极值，且极大值点与极小值点分别为A、B，又线段AB（不含端点）与函数f（x）图象交于点（1，0）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=2x2+4x-k，已知对任意x1、x2∈[-1，1]，都有|f（x1）|≤|g（x2）|，求k的取值．

正确答案

解：（1）f′（x）=3x2+6ax，

又f′（x）=0则x1=0，x2=-2a，而f（0）=b，

f（-2a）=4a3+b，则点A（0，b）B（-2a，4a3+b）

则直线AB方程为：=①而且（1，0）满足①式，

则b=2a2，又f（1）=0则1+3a+b=0．

∴或，

而交点（1，0）在线段AB上，则a=-1，b=2；

则f（x）=x3-3x2+2；

（2）|x3-3x2+2|≤|2x2+4x-k|，x∈[-1，1]，则|f（x）|max=2，

故2x2+4x-k≥2或2x2+4x-k≤-2，∴{k|k≤-4或k≥8}为所求．

解析

解：（1）f′（x）=3x2+6ax，

又f′（x）=0则x1=0，x2=-2a，而f（0）=b，

f（-2a）=4a3+b，则点A（0，b）B（-2a，4a3+b）

则直线AB方程为：=①而且（1，0）满足①式，

则b=2a2，又f（1）=0则1+3a+b=0．

∴或，

而交点（1，0）在线段AB上，则a=-1，b=2；

则f（x）=x3-3x2+2；

（2）|x3-3x2+2|≤|2x2+4x-k|，x∈[-1，1]，则|f（x）|max=2，

故2x2+4x-k≥2或2x2+4x-k≤-2，∴{k|k≤-4或k≥8}为所求．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3+ax+b，当x=-2时，f（x）有极大值18．

（1）求a，b的值；

（2）求函数y=f （x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（1）f’（x）=3x2+a．由f’（-2）=0和f（-2）=18．

解得 a=-12，b=2 所以 f（x）=x3-12x+2…（4分）

（2）由（1）计算f’（x）=3x2-12=3（x-2）（x+2），f（2）=-14，f（-1）=13，f（3）=-7，…．（8分）

列表：

…..（12分）

由表可见，函数y=f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值分别是13和-14…（14分）

解析

解：（1）f’（x）=3x2+a．由f’（-2）=0和f（-2）=18．

解得 a=-12，b=2 所以 f（x）=x3-12x+2…（4分）

（2）由（1）计算f’（x）=3x2-12=3（x-2）（x+2），f（2）=-14，f（-1）=13，f（3）=-7，…．（8分）

列表：

…..（12分）

由表可见，函数y=f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值分别是13和-14…（14分）

题型：单选题

单选题

对任意的实数a，b，记max{a，b}=，若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值-2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示，则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（　　）

Ay=F（x）为奇函数

By=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（-1）

Cy=F（x）在（-3，0）上不是单调函数

Dy=F（x）的最小值为-2且最大值为2

正确答案

解析

解：由图象可得g（x）=；

根据当x≥0时，由f（x）的图象和奇函数y=f（x）在x=1时有极小值-2，可知：当x≤0时，在x=-1时取得最大值2，及其f（x）的图象如图所示．

而F（x）=，

因此当-3≤x≤0时，函数F（x）不单调．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ln（ax+1）+-1（x≥0，a＞0）．

（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；

（2）求f（x）的单调区间．

正确答案

解：（1）f′（x）=，

∵f（x）在x=1处取得极值，

∴f′（1）=2a-2=0，

∴a=1；

（2）∵f′（x）=（a＞0，x≥0），

若a≥2，x≥0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若或（舍去），

∴函数f（x）在上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

解析

解：（1）f′（x）=，

∵f（x）在x=1处取得极值，

∴f′（1）=2a-2=0，

∴a=1；

（2）∵f′（x）=（a＞0，x≥0），

若a≥2，x≥0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若或（舍去），

∴函数f（x）在上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

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