热门试卷

解：（Ⅰ）当a=时，f（x）=x3+3x2-x+1，

∵f′（x）=7x2+6x-1=（7x-1）（x+1），

令f′（x）=0，得x1=，x2=-1，

且当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＞0，当x∈（-1，）时，f′（x）＜0，

所以当x=-1时，f（x）有极大值，且f（-1）=．

（Ⅱ）∵∀x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，

即∀x∈R不等式3ax2+6x-1≤4x恒成立，

∴∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立，

当a≥0时，∀x∈R，3ax2+2x-1≤0不恒成立，

当a＜0时，∀x∈R不等式3ax2+2x-1≤0恒成立，

即△=4+12a≤0，解得．

解：（I），

∵f‘（1）=0，∴a=2，

∴

f'（x）＞0，即x＞1时，函数f（x）=x2-2lnx单调递增；

f'（x）＜0，即0＜x＜1时，函数f（x）=x2-2lnx单调递减．

综上：函数f（x）=x2-2lnx的单调递增区间为（1，+∞）；

函数f（x）=x2-2lnx的单调递减区间为（0，1）

（II）

当a≤0时，x∈[1，2]，f'（x）＞0，函数递增

∴当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为1

当a＞0时，

（1）当0＜a≤2时，函数在[1，2]上递增，所以当x=1时f（x）有最小值，并且最小值为4

（2）当2＜a＜8时，函数在[1，]上递减，在[，2]上递增；

所以当时f（x）有最小值，并且最小值为

（3）当8≤a，函数在[1，2]上递减，所以当x=2时f（x）有最小值，并且最小值为（4-aln2）

解：（1）

则f‘（1）=m-1=0，∴m=1，∴f（x）=x-lnx-3

由题意知x-ln3-3≤nx-4在x∈（0，+∞）有解

∴有解，

令，即n≥g（x）min，

则函数f（x）在区间（0，e2）上单调递减，在区间（e2，+∞）上单调递增．

∴

∴

（2）由 （1）知在 （0，4）上是减函数

∵0＜a＜b＜4，∴g（a）＞g（b）

∴，∴b（1-lna）＞a（1-lnb）

当0＜b＜e时，1-lnb＞0，∴；

当e＜b＜4时，1-lnb＜0，∴．

解：f（x）的定义域为（0，+∞）．

（Ⅰ）若a=1，则，此时f（1）=2．

因为，

所以，所以切线方程为，

即5x-2y-1=0．

（Ⅱ）由于，x∈（0，+∞）．

（1）当a≥0时，，，

令f‘（x）=0，得，（舍去），

且当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0；

当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，

所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，f（x）的极小值点为．

（2）当a＜0时，．

①当x≥-a时，，

令f'（x）=0，得，（舍去）．

若，即，

则f'（x）≥0，所以f（x）在（-a，+∞）上单调递增；

若，即，

则当x∈（-a，x1）时，f'（x）＜0；

当x∈（x1，+∞）时，f'（x）＞0，

所以f（x）在区间（-a，x1）上是单调递减，在（x1，+∞）上单调递增．

②当0＜x＜-a时，．

令f'（x）=0，得-4x2-2ax-1=0，记△=4a2-16，

若△≤0，即-2≤a＜0时，f'（x）≤0，

所以f（x）在（0，-a）上单调递减；

若△＞0，即a＜-2时，则由f'（x）=0得，且0＜x3＜x4＜-a，

当x∈（0，x3）时，f'（x）＜0；

当x∈（x3，x4）时，f'（x）＞0；

当x∈（x4，-a）时，f'（x）＜0，

所以f（x）在区间（0，x3）上单调递减，在（x3，x4）上单调递增；在（x4，-a）上单调递减．

综上所述，当a＜-2时，f（x）的极小值点为和x=-a，极大值点为；

当时，f（x）的极小值点为x=-a；

当时，f（x）的极小值点为．

（Ⅲ）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，可得…（*）

（ⅰ）当x∈（0，1）时，，|x+a|≥0，不等式（*）恒成立；

（ⅱ）当x=1时，，即|1+a|＞0，所以a≠-1；

（ⅲ）当x＞1时，不等式（*）恒成立等价于恒成立或恒成立．

令，则．

令φ（x）=-x2-1+lnx，则，

而φ（1）=-12-1+ln1=-2＜0，

所以φ（x）=-x2-1+lnx＜0，即，

因此在（1，+∞）上是减函数，

所以g（x）在x∈（1，+∞）上无最小值，

所以不可能恒成立．

令，则，

因此h（x）在（1，+∞）上是减函数，

所以h（x）＜h（1）=-1，

所以a≥-1．又因为a≠-1，所以a＞-1．

综上所述，满足条件的a的取值范围是（-1，+∞）．