- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是______．
正确答案
m＜-3或m＞6
解析
解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值
f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，
∴△=4m2-12（m+6）＞0
解得m＜-3或m＞6
故答案为：m＜-3或m＞6．
已知函数
正确答案
a＞2
解析
解：设
此时函数g（x）在
所以当极小值
故答案为：a＞2
f（x）=6x2-x-2有极______值______．
正确答案
小
解析
解：由二次函数的性质可得，
f（x）=6x2-x-2有极小值，
且当x=
故答案为：小，
已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．
正确答案
解：（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-．
又f（-1）=6，f（-）=，
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-=-5（x+），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．
解析
解：（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-．
又f（-1）=6，f（-）=，
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-=-5（x+），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．
已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点．
正确答案
解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），
即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），
∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．
∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．
∴a+1-2m=-（2m+1）．
∴a=-2．
（2）由（1）得
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=
∴φ‘（x）=1-
方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m．
①当m＞0时，△＞0，
方程（*）的两个实根为
则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．
∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）有极小值点x2．
②当m＜0时，由△＞0，得
若
故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，
∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）没有极值点．
若
则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．
∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．
综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；
当m＜0时，
（其中
解析
解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），
即不等式x2+（a+1-2m）x+m2+m＜0的解集为（m，m+1），
∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=（x-m）（x-m-1）．
∴x2+（a+1-2m）x+m2+m=x2-（2m+1）x+m（m+1）．
∴a+1-2m=-（2m+1）．
∴a=-2．
（2）由（1）得
∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=
∴φ‘（x）=1-
方程x2-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）2-4（k-m+1）=k2+4m．
①当m＞0时，△＞0，
方程（*）的两个实根为
则x∈（1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．
∴函数φ（x）在（1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）有极小值点x2．
②当m＜0时，由△＞0，得
若
故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，
∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）没有极值点．
若
则x∈（1，x1）时，φ'（x）＞0；x∈（x1，x2）时，φ'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时，φ'（x）＞0．
∴函数φ（x）在（1，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．
∴函数φ（x）有极小值点x2，有极大值点x1．
综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x2；
当m＜0时，
（其中
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