函数的极值与导数的关系
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题型：简答题

简答题

（2015春•枣阳市校级月考）已知函数．当x=2时，函数f（x）取得极值．

（I）求实数a的值；

（II）若1≤x≤3时，方程f（x）+m=0有两个根，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（I）由，

则 f‘（x）=x2+2ax+6

因在x=2时，f（x）取到极值

所以f'（2）=0⇒4+4a+6=0

解得，

（II）由（I）得

且1≤x≤3

则f'（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3）

由f'（x）=0，解得x=2或x=3；

f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；

f'（x）＜0，解得2＜x＜3

∴f（x）的递增区间为：（-∞，2）和（3，+∞）；

f（x）递减区间为：（2，3）

又

要f（x）+m=0有两个根，

则f（x）=-m有两解，分别画出函数y=f（x）与y=-m的图象，如图所示．

由图知，实数m的取值范围：．

解析

解：（I）由，

则 f‘（x）=x2+2ax+6

因在x=2时，f（x）取到极值

所以f'（2）=0⇒4+4a+6=0

解得，

（II）由（I）得

且1≤x≤3

则f'（x）=x2-5x+6=（x-2）（x-3）

由f'（x）=0，解得x=2或x=3；

f'（x）＞0，解得x＞3或x＜2；

f'（x）＜0，解得2＜x＜3

∴f（x）的递增区间为：（-∞，2）和（3，+∞）；

f（x）递减区间为：（2，3）

又

要f（x）+m=0有两个根，

则f（x）=-m有两解，分别画出函数y=f（x）与y=-m的图象，如图所示．

由图知，实数m的取值范围：．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ln（2+3x）-x2

（1）求f（x）在区间[0，1]上的极值；

（2）若对任意x∈[，]不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0成立，求实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程f（x）=-2x+b在区间[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

正确答案

解：（1）f′（x）=-3x=，

当0≤x，f′（x）＞0，f（x）单调递增；＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

故f（x）在区间[0，1]上有极大值f（）=ln3-；

（2）由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，∴x∈[，]，

则ln∈[0，ln]，只有当x=时，ln=0，

这时a=ln，|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0不成立，

其它情况都成立，故a的取值范围是（-∞，-ln3）∪（-ln3，+∞）；

（3）由于f（x）=b-2x，则ln（2+3x）-x2+2x-b=0，

令φ（x）=ln（2+3x）-x2+2x-b，则φ′（x）=-3x+2=，

当x∈[0，]时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当x∈[，1]时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减．

即有φ（）＞φ（0），φ（）＞φ（1），φ（0）=ln2-b．

φ（）=ln（2+）-+-b＞0，φ（1）=ln5+-b≤0，

则ln5+≤b＜ln（2+）-+．

即实数b的取值范围是[ln5+，ln（2+）-+）．

解析

解：（1）f′（x）=-3x=，

当0≤x，f′（x）＞0，f（x）单调递增；＜x≤1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

故f（x）在区间[0，1]上有极大值f（）=ln3-；

（2）由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，∴x∈[，]，

则ln∈[0，ln]，只有当x=时，ln=0，

这时a=ln，|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0不成立，

其它情况都成立，故a的取值范围是（-∞，-ln3）∪（-ln3，+∞）；

（3）由于f（x）=b-2x，则ln（2+3x）-x2+2x-b=0，

令φ（x）=ln（2+3x）-x2+2x-b，则φ′（x）=-3x+2=，

当x∈[0，]时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增；当x∈[，1]时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减．

即有φ（）＞φ（0），φ（）＞φ（1），φ（0）=ln2-b．

φ（）=ln（2+）-+-b＞0，φ（1）=ln5+-b≤0，

则ln5+≤b＜ln（2+）-+．

即实数b的取值范围是[ln5+，ln（2+）-+）．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为-3和0．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）的极小值为-1，求f（x）的极大值．

正确答案

解：（Ⅰ）f‘（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=[ax2+（2a+b）x+b+c]ex．

令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c，

∵ex＞0，

∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．

又∵a＞0，

∴当x＜-3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，

当-3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点，

所以有

解得a=1，b=1，c=-1．

所以函数的解析式为f（x）=（x2+x-1）ex．

又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

所以，函数f（x）的极大值为．

解析

解：（Ⅰ）f‘（x）=（2ax+b）ex+（ax2+bx+c）ex=[ax2+（2a+b）x+b+c]ex．

令g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c，

∵ex＞0，

∴y=f'（x）的零点就是g（x）=ax2+（2a+b）x+b+c的零点，且f'（x）与g（x）符号相同．

又∵a＞0，

∴当x＜-3，或x＞0时，g（x）＞0，即f'（x）＞0，

当-3＜x＜0时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，

∴f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x=0是f（x）的极小值点，

所以有

解得a=1，b=1，c=-1．

所以函数的解析式为f（x）=（x2+x-1）ex．

又由（Ⅰ）知，f（x）的单调增区间是（-∞，-3），（0，+∞），单调减区间是（-3，0）．

所以，函数f（x）的极大值为．

题型：填空题

填空题

已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上单调递增，那么，下列关于此函数f（x）性质的表述：

①函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称；

②函数y=f（x）是周期函数；

③当x∈[-3，-2]时，f′（x）≥0； ④函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点．

其中正确表述的番号是______．

正确答案

①②④

解析

解：令x=-1，则f（-1+2）=f（-1）+f（1），又f（-1）=f（1）

∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0

∴f（x+2）=f（x）

∴函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为2，②正确；

再将上式中的x替换为x-1，得f（x+1）=f（x-1）=f（1-x）

∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，①正确；

∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴函数f（x）在区间[-1，0]上单调递减，

又函数的周期为2，∴函数f（x）在区间[-3，-2]上单调递减，此时f′（x）≤0，③错误；

∵函数f（x）在一个周期[-1，1]上有且只有一个零点x=0，且函数周期为2，∴x=0+2k，k∈Z均为函数的零点，④正确

故答案为①②④

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3-3ax2-bx，其中a，b为实数，

（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；

（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）由题设可知：f‘（1）=0且f（1）=2，

即，

解得．；

（Ⅱ）∵f'（x）=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a，

又f（x）在[-1，2]上为减函数，

∴f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，

即3x2-6ax-9a≤0对x∈[-1，2]恒成立，

∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，

即，

∴a的取值范围是a≥1．

解析

解：（Ⅰ）由题设可知：f‘（1）=0且f（1）=2，

即，

解得．；

（Ⅱ）∵f'（x）=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a，

又f（x）在[-1，2]上为减函数，

∴f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，

即3x2-6ax-9a≤0对x∈[-1，2]恒成立，

∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，

即，

∴a的取值范围是a≥1．

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