热门试卷

解：f′（x）=6x2-6ax+（a2+2），

（I）f′（1）=6-6a+（a2+2），令f′（x）=0，解得a=2或a=4，

当a=2时，f′（x）=6x2-12x+6=6（x-1）2，显然f（x）在x=1处不取得极值；

当a=4时，f′（x）=6x2-24x+18=6（x-1）（x-3），

显然f（x）在x=1处取得极大值．

故a的值为4．

（II）f（x）=2x3-3ax2+（a2+2）x-a

=（2x3-2ax2+2x）-（ax2-a2x+a）

=（x2-ax+1）（2x-a）

得f（x）的一个零点是，又函数f（x）仅有一个零点，

∴△=（-a）2-4×1×1＜0，解得-2＜a＜2，

故a的取值范围（-2，2）．

解：（1）f′（x）=ex（x-a）[x2+（3-a+b）x+2b-ab-a]，

令g（x）=x2+（3-a+b）x+2b-ab-a，

则△=（3-a+b）2-4（2b-ab-a）=（a+b-1）2+8＞0，

于是可设x1，x2是g（x）=0的两实根，且x1＜x2．

①当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．

②当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f（x）的极大值点，故x1＜a＜x2．即g（a）＜0，

即a2+（3-a+b）a+2b-ab-a＜0．所以b＜-a．所以b的取值范围是（-∞，-a）；

（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，则

③当x2-a=a-x1时，则x4=2x2-a或x4=2x1-a，于是2a=x1+x2=a-b-3，即b=-a-3．

此时x4=2x2-a=a-b-3+-a=a+2，

或x4=2x1-a=a-b-3--a=a-2，

④当x2-a≠a-x1时，则x2-a=2（a-x1）或a-x1=2（x2-a），

（ⅰ）若x2-a=2（a-x4），则x4=，于是3a=2x1+x2=，

即=-3（a+b+3），于是a+b-1=，

此时x4===-b-3=a+．

（ⅱ）若a-x1=2（x2-a），则x4=，

于是3a=2x2+x1=，

即=3（a+b+3），于是a+b-1=．

此时x2===-b-3=a+．

综上所述，存在b满足题意．当b=-a-3时，x4=a±2；

当b=-a-时，x4=a+；

当b=-a-时，x4=a+．

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2，

∴f‘（x）=3ax2+2bx．

由题意有，

解得．

∴函数f（x）的解析式为f（x）=2x3+3x2．

（Ⅱ）g（x）=f（x）+mx=2x3+3x2+mx，x∈[1，+∞），

在[1，+∞）单调递增

∴[g'（x）]min=g'（1）=12+m=0，

∴m=-12．

（Ⅲ）g（x）=2x3+3x2-12x，x∈[1，+∞），

由（Ⅱ）知，当x=1时，g'（x）=0，

当x＞1时，g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上是增函数．

∴g（x）≥g（1）=2+3-12=-7．