函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

函数f（x）=x3+ax2+x在区间（0，1）上既存在极大值，也存在极小值，则a的取值范围是（　　）

A（-2，-）

B（-3，-）

C（，2）

D（，3）

正确答案

解析

解：求导函数，可得f′（x）=3x2+2ax+1

则由题意，方程3x2+2ax+1=0的两个不等根都在区间（0，1）内，

构造函数g（x）=3x2+2ax+1，则

∴

∴实数a的取值范围是（）

故答案为 A．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象经过原点，f′（1）=0若f（x）在x=-1取得极大值2．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）若对任意的x∈[-2，4]，都有f（x）≥f′（x）+6x+m，求m的最大值．

正确答案

解：（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），

∵x=-1时有极大值2，∴f′（-1）=3a-2b+c=0 ①

又f（0）=d=0 ②

f′（1）=3a+2b+c=0 ③

f（-1）=-a+b-c=2 ④

①②③④联立得 a=1，b=0，c=-3，d=0．

故函数f（x）=x3-3x．

（2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m，

∴m≤f（x）-f′（x）-6x，令g（x）=f（x）-f′（x）-6x=x3-3x2-9x+3，∴g′（x）=3x2-6x-9，

令g′（x）=0，得x=-1或x=3，

∴g（x）在[-2，-1]内单调递增，在[-1，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，

∴g（x）min=g（3）=-24；

∴m≤-24，即mmax=-24．

解析

解：（1）∵f′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），

∵x=-1时有极大值2，∴f′（-1）=3a-2b+c=0 ①

又f（0）=d=0 ②

f′（1）=3a+2b+c=0 ③

f（-1）=-a+b-c=2 ④

①②③④联立得 a=1，b=0，c=-3，d=0．

故函数f（x）=x3-3x．

（2）∵f（x）≥f′（x）+6x+m，

∴m≤f（x）-f′（x）-6x，令g（x）=f（x）-f′（x）-6x=x3-3x2-9x+3，∴g′（x）=3x2-6x-9，

令g′（x）=0，得x=-1或x=3，

∴g（x）在[-2，-1]内单调递增，在[-1，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，

∴g（x）min=g（3）=-24；

∴m≤-24，即mmax=-24．

题型：简答题

简答题

若函数f（x）=（x2+ax+a）ex（a≤2，x∈R）的极大值为3，求a的值．

正确答案

解：由于f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex

=[x2+（2+a）x+2a]ex

=（x+a）（x+2）ex

令f′（x）=0，解得 x=-a或x=-2，

又∵a≤2，∴-a≥-2．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表所示：

由表可知，当x=-2时，函数f（x）取得极大值3，即f（-2）=[（-2）2-2a+a]e-2=3，解得a=4-3e2．

故若函数f（x）=（x2+ax+a）ex（a≤2，x∈R）的极大值为3，则a的值为4-3e2．

解析

解：由于f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex

=[x2+（2+a）x+2a]ex

=（x+a）（x+2）ex

令f′（x）=0，解得 x=-a或x=-2，

又∵a≤2，∴-a≥-2．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表所示：

由表可知，当x=-2时，函数f（x）取得极大值3，即f（-2）=[（-2）2-2a+a]e-2=3，解得a=4-3e2．

故若函数f（x）=（x2+ax+a）ex（a≤2，x∈R）的极大值为3，则a的值为4-3e2．

题型：填空题

填空题

已知函数

（1）判断下列三个命题的真假：

①f（x）是偶函数；②f（x）＜1；③当时，f（x）取得极小值．

其中真命题有______；（写出所有真命题的序号）

（2）满足的正整数n的最小值为______．

正确答案

①②

解析

（1）证明：函数的定义域为x≠0，

当x≠0时，==f（x），

∴f（x）是偶函数；①正确；

对于②，针对函数的性质，只须考虑当0＜x＜时的函数值即可，

如图，在单位圆中，有sinx=MA，

连接AN，则S△OAN＜S扇形OAN，

设的长为l，则，

∴，即MA＜x，

又sinx=MA，

∴sinx＜x，∴，②正确；

令=0得xcosx-sinx=0，

即tanx=x，但当时，不满足tanx=x，

故当时，f（x）取不到极小值，故③错．

故答案为：①②．

（2）当n=1时，，，不满足；

当n=2时，，，不满足；

…

当n=8时，，，不满足；

当n=9时，，，满足．

故满足的正整数n的最小值为 9．

故答案为：9．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=2ax-+lnx在x=-1，x=处取得极值．

（1）求a、b的值；

（2）若对x∈[，4]时，f（x）＞c恒成立，求c的取值范围．

正确答案

解：（1）∵f（x）=2ax-+lnx，

∴f′（x）=2a++．

∵f（x）在x=-1与x=处取得极值，

∴f′（-1）=0，f′（）=0，

即解得

∴所求a、b的值分别为1、-1．

（2）由（1）得f′（x）=2-+=（2x2+x-1）=（2x-1）（x+1）．

∴当x∈[，]时，f′（x）＜0；

当x∈[，4]时，f′（x）＞0．

∴f（）是f（x）在[，4]上的极小值．又∵只有一个极小值，

∴f（x）min=f（）=3-ln2．

∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3-ln2．

∴c的取值范围为c＜3-ln2．

解析

解：（1）∵f（x）=2ax-+lnx，

∴f′（x）=2a++．

∵f（x）在x=-1与x=处取得极值，

∴f′（-1）=0，f′（）=0，

即解得

∴所求a、b的值分别为1、-1．

（2）由（1）得f′（x）=2-+=（2x2+x-1）=（2x-1）（x+1）．

∴当x∈[，]时，f′（x）＜0；

当x∈[，4]时，f′（x）＞0．

∴f（）是f（x）在[，4]上的极小值．又∵只有一个极小值，

∴f（x）min=f（）=3-ln2．

∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3-ln2．

∴c的取值范围为c＜3-ln2．

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