热门试卷

解：

（1）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，则f′（x）=1-（2/x）…2分

由f′（x）＞0得x＞2；由f′（x）＜0得0＜x＜2…3分

∴f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞]…4分

∴f（x）有极小值f（2）2-2ln2，无极大值…5分

（2）要对任意的x∈（0，1/2），f（x）＞0恒成立，

即对x∈（0，1/2），a＞2-恒成立，…6分

令l（x）=2-，x∈（0，），

则l′（x）=[-（2/x）（x-1）-2lnx]/（x-1）2=（2lnx+2/x-2）/（x-1）…7分

令M（x）=2lnx+2/x-2），x∈（1，）

则M′（x）=-2/x2+=-2（1-x）/x2＜0…8分

故M（x）在（0，）为减函数，所以M（x）＞M（）=2-2ln2＞0…9分

所以l′（x）＞0，所以l（x）在（0，）上为增函数…10分

所以l（x）＞l（）=2-4ln2

所以要使a＞2-恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞）

综上：若函数f（x）在上恒大于零，实数a的最小值为2-4ln2…12分

解：（Ⅰ）f′（x）=x2-2ax+（a2-1）…（1分）

∵x=1为f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即 a2-2a=0，

∴a=0或2．…（2分）

经检验均符合题意．…（3分）

（Ⅱ）∵（1，f（1））是切点，∴1+f（1）-3=0，

∴f（1）=2，即．…（4分）

∵切线方程x+y-3=0的斜率为-1，

∴f‘（1）=-1，即a2-2a+1=0，…（5分）

∴a=1，．…（6分）

∴，∴f'（x）=x2-2x．

由f'（x）=0及x∈[-2，1]得x=0．…（7分）

…（9分）

故f（x）在[-2，1]上的最大值为和最小值为f（-2）=-4．…（10分）

解：（1）f‘（x）=-x（x-3）e-x，由f'（x）=0，解得x=0或3，

则x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

由上表得，f（x）的单调增区间为（0，3），单调减区间为（-∞，0），（3，+∞）；

当x=0时f（x）有极小值-1，当x=3时，f（x）有极大值5e-3．

（2）由题知，只需要函数y=f（x） 和函数y=a 的图象有两个交点即可．

∵（f（-1）=e，f（4）=11e-4，

∴f（-1）＞f（3）＞f（4）＞f（0）

由（1）知f（x）在，当[-1，0）上单调递减，（0，3）上单调递增，在（3，4]在上单调递减．

∴当a=5e-3或-1＜a＜11e-4时，y=f（x） 和y=a 的图象有两个交点．

即方程f（x）=a在区间[-1，4]上有两个根．