- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知f（x）=（2x-x2）ex，给出以下四个结论：
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；
②f（-
③f（x）没有最小值，也没有最大值；
④f（x）有最大值，没有最小值．
其中判断正确的是______．
正确答案
①②④
解析
解：由f（x）＞0可得（2x-x2）ex＞0
∵ex＞0，∴2x-x2＞0，∴0＜x＜2，故①正确；
f′（x）=ex（2-x2），由f′（x）=0得x=±
由f′（x）＜0得x＞
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-
∴f（x）的极大值为f（
∵x＜-
∴f（x）无最小值，但有最大值f（
∴③不正确，④正确．
故答案为：①②④．
（2015秋•山东校级月考）设函数f（x）=lnx+
（I）当m=e（e为自然对数的底数）时，若函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数g（x）=f′（x）-
正确答案
解：（Ⅰ）当m=e时，
当0＜x＜e时，
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
若函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，
须
（Ⅱ）
令g（x）=0，得
设
h‘（x）=-x2+1=-（x+1）（x-1）
故当x=1时，h（x）取得最大值时
作出h（x）的图象，可得当
解析
解：（Ⅰ）当m=e时，
当0＜x＜e时，
故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
若函数f（x）在（a-1，a+1）（a＞1）上有极值点，
须
（Ⅱ）
令g（x）=0，得
设
h‘（x）=-x2+1=-（x+1）（x-1）
故当x=1时，h（x）取得最大值时
作出h（x）的图象，可得当
已知函数f（x）=x3-3x-1
（1）求f（x）在[-2，2]上的极大值与极小值；
（2）若函数f（x）在[m，m+1]上是减函数，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）∵f′（x）=3x2-3，
由f′（x）=0，得x=±1，
则x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故当x=-1时，f（x）取极大值1；当x=1时，f（x）取极小值-1，
（2）由（1）知，函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
故[m，m+1]⊆[-1，1]
于是
即-1≤m≤0．
∴m的范围是：[-1，0]．
解析
解：（1）∵f′（x）=3x2-3，
由f′（x）=0，得x=±1，
则x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
故当x=-1时，f（x）取极大值1；当x=1时，f（x）取极小值-1，
（2）由（1）知，函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
故[m，m+1]⊆[-1，1]
于是
即-1≤m≤0．
∴m的范围是：[-1，0]．
函数y=exx2-1的部分图象为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵y=exx2-1，
∴y‘=f'（x）=exx2+2xex=ex（x2+2x），
由f'（x）=ex（x2+2x）＞0，
得x＞0或x＜-2，此时函数单调递增，
由f'（x）=ex（x2+2x）＜0，
得-2＜x＜0，此时函数单调递减．
∴当x=0时，函数f（x）取得极小值，
当x=-2时，函数f（x）取得极大值，
对应的图象为A．
故选：A．
已知f（x）是定义在R上的可导函数，若函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则下面四个结论中，所有正确结论的序号是（ ）
①f（1）+f（-1）＞0；
②f（x）≥0对x∈R成立；
③f（x）可能是奇函数；
④f（x）一定没有极值点．
正确答案
解析
解：由于函数F（x）=xf（x），满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，则可知F（x）=xf（x）为R上的增函数，
则①f（1）＞-f（-1）即f（1）+f（-1）＞0；故①正确；
②由于F（x）=xf（x），F′（x）＞0，
则当x＜0时，F（x）=xf（x）＜F（0）=0成立，故f（x）＞0；
当x＞0时，F（x）=xf（x）＞F（0）=0成立，故f（x）＞0；故②正确；
③若f（x）是奇函数，则函数F（x）=xf（x）为偶函数，
不满足F′（x）＞0对x∈R恒成立，；故③不正确；
④当f（x）=x2，F（x）=x3时，满足题设的条件，
而此时f（x）在x=0处存在极小值点，故④正确．
故答案为 A
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