热门试卷

解：f‘（x）=（2x-3）ex+（x2-3x+3）ex=（x2-x）ex----1-分

（1）由f'（x）=（x2-x）ex=0得x=0，或x=1-----（2分）

当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表

f（x）的极大值为f（0）=3．-----（4分）

（2），所以-----（5分）

设，

-----（6分）

-----（7分）

当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；-----（9分）

当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，而，

所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解；-----（11分）

当t=1或t=4时，g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；-----（13分）

综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足，

当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，有两个x0适合题意-----（14分）

解：（1）f‘（x）=3x2+2ax+b，

依题意有

从而f′（x）=3x2+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），

令f′（x）=0有x=1或

由于f（x）在x=1处取得极值，

因此，得到c≠-31若，

即c＜-3，则当x∈（-∞，1）或时，f′（x）＞0，

当时，f′（x）＜0，

因此f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和，单调递减区间为；

若，即c＞-3，

则当或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，

当时，f′（x）＜0，

因此f（x）的单调递增区间为和（1，+∞），单调递减区间为．

（2）设直线BD的方程为y=f′（xB）（x-xB）+f（xB）因为D点在直线上又在曲线上，

所以f（xD）=f′（xB）（xD-xB）+f（xB）

即（xD3+axD2+bxD+c）-（xB3+axB2+bxB+c）=（3xB2+2axB+b）（xD-xB）

得到：xD2+xDxB-2xB2+axD-axB=0从而xD+2xB+a=0，

同理有xA+2xC+a=0，由于AC平行于BD，

因此f′（xB）=f′（xC），

得到

进一步化简可以得到，

从而xA-xB=xC-xD

又（xA-xB）+（xC-xD）=（xB-xC），

因此（xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1

解：f（x）=alnx+x2+bx的导数为f′（x）=+2x+b，

由x=1是f（x）极值点，则f′（1）=0，

即有a+b=-2，

即有f′（x）==，

显然a≠2，

①当a=0时，f（x）=x2-2x，x＞0，函数f（x）有且只有一个零点2，成立；

②当a＜0时，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．

即有f（x）在x=1处取得最小值，且为1+b=-1-a，

当-1-a=0即a=-1时，f（x）有且只有一个零点；

③当a＞0且a≠2时，函数有两个极值点1，，

当f（1）＜0且f（）＜0，函数f（x）有且只有一个零点，

即有1+b＜0，且aln+a2+＜0，

即为-1-a＜0，且ln-1-a＜0，

令g（a）=ln-1-a，g′（x）=-，

可得a=4处附近，导数左正右负，f（x）取得极大值，也为最大值，且为ln2-2＜0，

则有a＞0且a≠2，f（x）恒有一个零点．

综上可得a的取值范围是a≥0且a≠2或a=-1．