热门试卷

解：（1）由于函数f（x）=x3-ax2+x+1，a∈R．

则f′（x）=ax2-2ax+1，△=4a2-4a，

①当a＞1时，△=4a2-4a＞0，

则f′（x）=ax2-2ax+1=0有两个根1-，1+，

故f（x）在（-∞，1-），（1+，+∞）上单调递增，在（1-，1+）单调递减，

②当0≤a≤1时，△=4a2-4a≤0，则f′（x）≥0恒成立，

故f（x）在R上单调递增，

③当a＜0时，△=4a2-4a＞0，

则f′（x）=ax2-2ax+1=0有两个根1-，1+，

故f（x）在（-∞，1-），（1+，+∞）上单调递减，在（1-，1+）单调递增，

综上可知，当a＞1时，f（x）在（-∞，1-），（1+，+∞）上单调递增，在（1-，1+）单调递减，

当0≤a≤1时，f（x）在R上单调递增，

当a＜0时，f（x）在（-∞，1-），（1+，+∞）上单调递减，在（1-，1+）单调递增；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且1＜≤5，

结合（1）知，当a＜0时，x1=1-，x2=1+，则1＜≤5，不等式无解；

当a＞1时，x1=1+，x2=1-，则1＜≤5，解得0≤a≤，故1＜a≤，

则满足条件的a的取值范围为{a|1＜a≤}．

解：（Ⅰ）f′（x）=-＜0恒成立，故f（x）在[-4，-]递减；

所以最大值为f（-4）=-，最小值为f（-）=-6；

（Ⅱ）∵g（x）=++，∴g′（x）=-，令u=x2+4x+3a，

△=16-12a；

当a≥时，△=16-12a≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点；

当0＜a＜时，x1=-2-，x2=-2+＜0；

故函数的减区间为（-∞，-2-），（-2+，0）（0，+∞），增区间：（-2-，-2+），

故g（x）有极小值点-2-，极大值点-2+．