热门试卷

解：显然f（x）的定义域为R．

（1）f‘（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）

由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得（4分）

即（5分）

解得（7分）

（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（ex-1-1）．（8分）

令f'（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．（10分）f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：（13分）

从上表可知：函数f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．（14分）

解：（Ⅰ）f′（x）=ex+xex+2ax+b，

因为f（x）在x=0和x=1时取得极值，

所以有，即，解得，经检验符号条件，

故a=-e，b=-1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

即存在实数x∈[1，2]，使xex-ex2-tx≤0成立，即ex-ex-t≤0，

令g（x）=ex-ex-t，则g′（x）=ex-e≥0恒成立，

所以g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）最小=g（1）=e-e-t≤0，

∴t∈[0，+∞）

解：（1）∵f（x）=ln（2+3x）-x2，∴函数y=f（x）的定义域为（）．

由=，得x=，

当x∈时，f′（x）＞0，当x∈时，f′（x）＜0．

∴y=f（x）在上为增函数，在上为减函数，

∴函数f（x）的极大值为．

（2）由g（x）=f（x）+x2+（m-1）x，

得g（x）=ln（2+3x）+（m-1）x  （x＞），

所以．

①当m-1=0，即m=1时，，∴g（x）在上为增函数；

②当m-1≠0，即m≠1时，．

由g′（x）=0，得：，∵，

∴1°若m＞1，则，，∴x＞-时，g′（x）＞0，∴g（x）在上为增函数；

2°若m＜1，则，∴当x∈时，g′（x）＞0；当x∈时，

g′（x）＜0，∴g（x）在上为增函数，在上为减函数．

综上可知，当m≥1时，g（x）在上为增函数；

当m＜1时，g（x）在上为增函数，在上为减函数．

（3）∵，

由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，得：，

∵x∈，∴0≤，而|a-lnx|≥0，

∴要对任意，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立，

须与|a-lnx|不同时为0．

因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，即a≠．

故对任意x∈，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0均成立的实数a的取值范围是{a|a}．