- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知x=1是函数f（x）=x3+mx2+mx-2的一个极值点，则m=（ ）
A
B2
C1
D-1
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3+mx2+mx-2，
∴f′（x）=3x2+2mx+m；
又∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）=3+2m+m=0；
∴m=-1．
故选：D．
①函数f（x）在（-2，-1）和（1，2）是单调递增函数；
②函数f（x）在（-2，0）上是单调递增函数，在（0，2）上是单调递减函数；
③函数f（x）在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值；
④函数f（x）在x=0处取得极大值f（0）．
则正确命题的序号是______．（填上所有正确命题的序号）
正确答案
②④
解析
解：图象可以看出在（-2，0），f′（x）＞0，在（0，2）上f′（x）＜0，所以函数f（x）在（-2，0）内单调递增，在（0，2）内单调递减，故①错，②正确，③错；
∵函数f（x）在（-2，0）内单调递增，在（0，2）内单调递减
∴函数在x=0处取得极大值f（0）．所以④正确．
故答案为：②④
已知函数f（x）=
正确答案
0
解析
解：因为f′（x）=x2+x+a，又当x=-1时，该函数有极值，
所以f′（-1）=a=0，故a=0，
经验证，a=0时，函数f（x）在x=-1处取得极大值．
故a=0．
设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；
（2）若f（x）在（-∞，0）上为增函数，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）f‘（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）．
因f（x）在x=3取得极值，所以f'（3）=6（3-a）（3-1）=0．解得a=3．
经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．
（2）令f'（x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a，x2=1．
当a＜1时，若x∈（-∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，a）和（1，+∞）上为增
函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（-∞，0）上为增函数．
当a≥1时，若x∈（-∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）和（a，+∞）上为增函
数，从而f（x）在（-∞，0]上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（-∞，0）上为增函数．
解析
解：（1）f‘（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）．
因f（x）在x=3取得极值，所以f'（3）=6（3-a）（3-1）=0．解得a=3．
经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．
（2）令f'（x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a，x2=1．
当a＜1时，若x∈（-∞，a）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，a）和（1，+∞）上为增
函数，故当0≤a＜1时，f（x）在（-∞，0）上为增函数．
当a≥1时，若x∈（-∞，1）∪（a，+∞），则f'（x）＞0，所以f（x）在（-∞，1）和（a，+∞）上为增函
数，从而f（x）在（-∞，0]上也为增函数．
综上所述，当a∈[0，+∞）时，f（x）在（-∞，0）上为增函数．
若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1＜x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（ ）
正确答案
解析
由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），
如下示意图象：
如图有三个交点，
故选A．
扫码查看完整答案与解析