函数的极值与导数的关系
共7619题

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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．

（1）当a=-时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）f′（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．

当a=-时，f′（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．

令f′（x）=0，解得x1=0，x2=，x3=2．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（0，），（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），（，2）内是减函数．

（2）f′（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．

为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．

解此不等式，得-≤a≤．

这时，f（0）=b是唯一极值．

因此满足条件的a的取值范围是[-，]．

解析

解：（1）f′（x）=4x3+3ax2+4x=x（4x2+3ax+4）．

当a=-时，f′（x）=x（4x2-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．

令f′（x）=0，解得x1=0，x2=，x3=2．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在（0，），（2，+∞）内是增函数，在（-∞，0），（，2）内是减函数．

（2）f′（x）=x（4x2+3ax+4），显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根．

为使f（x）仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4≥0成立，即有△=9a2-64≤0．

解此不等式，得-≤a≤．

这时，f（0）=b是唯一极值．

因此满足条件的a的取值范围是[-，]．

题型：填空题

填空题

函数y=sinx+cosx在[0，π]上的极大值为______．

正确答案

解析

解：由y=sinx+cosx，得：y′=（sinx+cosx）′=cosx-sinx，

再由cosx-sinx=0，得sinx=cosx，即tanx=1，因为x∈[0，π]，所以x=．

所以，当x∈（0，）时，y′=cosx-sinx＞0，函数y=sinx+cosx为增函数，

当x∈（，π）时时，y′=cosx-sinx＜0，函数y=sinx+cosx为，减函数，

所以，函数y=sinx+cosx在[0，π]上的极大值为=．

故答案为．

题型：填空题

填空题

（2015秋•天水校级期末）函数f（x）=2x3-3x2+a的极大值为6，则a=______．

正确答案

解析

解：∵函数f（x）=2x3-3x2+a，

∴导数f′（x）=6x2-6x，

令f′（x）=0，可得x=0或x=1，

导数在x=0的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值，∴f（0）=a=6．

导数在x=1的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．

故答案为：6．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=mx3+3x2-3x，m∈R．

（Ⅰ）若函数f（x）在x=-1处取得极值，试求m的值，并求f（x）在点M（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）设m＜0，若函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）f‘（x）=3mx2+6x-3．

因为函数f（x）在x=-1处取得极值，所以f'（-1）=0，解得m=3．

于是函数f（x）=3x3+3x2-3x，f（1）=3，f'（x）=9x2+6x-3．

函数f（x）在点M（1，3）处的切线的斜率k=f'（1）=12，

则f（x）在点M处的切线方程为12x-y-9=0．（6分）

（Ⅱ）当m＜0时，f'（x）=3mx2+6x-3是开口向下的抛物线，

要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，

应满足或

解得，或，所以m的取值范围是．（14分）

解析

解：（Ⅰ）f‘（x）=3mx2+6x-3．

因为函数f（x）在x=-1处取得极值，所以f'（-1）=0，解得m=3．

于是函数f（x）=3x3+3x2-3x，f（1）=3，f'（x）=9x2+6x-3．

函数f（x）在点M（1，3）处的切线的斜率k=f'（1）=12，

则f（x）在点M处的切线方程为12x-y-9=0．（6分）

（Ⅱ）当m＜0时，f'（x）=3mx2+6x-3是开口向下的抛物线，

要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，

应满足或

解得，或，所以m的取值范围是．（14分）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．

（1）当a=时，若不等式f′（x）＞-对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；

（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少存在一个零点；

（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f（x）=-t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．

正确答案

解：（1）当a=时，f′（x）=x2+2bx+b-，…（1分）

依题意　f′（x）＞-　

即x2+2bx+b＞0恒成立

∴△=4b2-4b＜0，解得0＜b＜1　

所以b的取值范围是（0，1）…（4分）

（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），

∴f′（0）=b-a，f‘（-1）=2a-b，f′（-）=．

由于a，b不同时为零，所以f′（-）•f′（-1）＜0，故结论成立．

（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3-ax，

又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0．

所以a=1，即f（x）=x3-x．因为f′（x）=3（x-）（x+）

所以f（x）在（-∞，-），（，+∞）上是増函数，

在[-，]上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，

如图所示，①当-1＜t≤-时，f（t）≥-t≥0，即t3-t≥-，解得-≤t≤0或t≥-；

②当-＜t＜0时，f（t）＞-t≥0，解得-＜t＜0；

③当t=0时，显然不成立；

④当0＜t≤时，f（t）≤-t＜0，即t3-t≤-，解得0＜t≤；

⑤当t＞时，f（t）＜-t＜0，故＜t＜．

⑥当t＞1时，-=f（）∴t=．

所以，所求t的取值范围是-≤t＜0或0＜t＜或t=．

解析

解：（1）当a=时，f′（x）=x2+2bx+b-，…（1分）

依题意　f′（x）＞-　

即x2+2bx+b＞0恒成立

∴△=4b2-4b＜0，解得0＜b＜1　

所以b的取值范围是（0，1）…（4分）

（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b-a），

∴f′（0）=b-a，f‘（-1）=2a-b，f′（-）=．

由于a，b不同时为零，所以f′（-）•f′（-1）＜0，故结论成立．

（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3-ax，

又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0．

所以a=1，即f（x）=x3-x．因为f′（x）=3（x-）（x+）

所以f（x）在（-∞，-），（，+∞）上是増函数，

在[-，]上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，

如图所示，①当-1＜t≤-时，f（t）≥-t≥0，即t3-t≥-，解得-≤t≤0或t≥-；

②当-＜t＜0时，f（t）＞-t≥0，解得-＜t＜0；

③当t=0时，显然不成立；

④当0＜t≤时，f（t）≤-t＜0，即t3-t≤-，解得0＜t≤；

⑤当t＞时，f（t）＜-t＜0，故＜t＜．

⑥当t＞1时，-=f（）∴t=．

所以，所求t的取值范围是-≤t＜0或0＜t＜或t=．

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