热门试卷

解：f′（x）=3x2-6x-9=3（x-3）（x+1），

令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，

令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，

∴函数f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减，

∴f（x）极大值=f（-1）=1-3+9=7．

解：f′（x）=ex（x2+ax+a+1）+ex（2x+a）

=ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]，

令f′（x）=0得x2+（a+2）x+（2a+1）=0

（1）当△=（a+2）2-4（2a+1）=a2-4a=a（a-4）＞0．

即a＜0或a＞4时，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1＜x2，

于是f′（x）=ex（x-x1）（x-x2），从而有下表：

即此时f（x）有两个极值点．

（2）当△=0即a=0或a=4时，方程x2+（a+2）x+（2a+1）=0有两个相同的实根x1=x2

于是f‘（x）=ex（x-x1）2故当x＜x1时，f'（x）＞0；当x＞x2时，f'（x）＞0，因此f（x）无极值．

（3）当△＜0，即0＜a＜4时，x2+（a+2）x+（2a+1）＞0，f'（x）=ex[x2+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f（x）为增函数，此时f（x）无极值．因此当a＞4或a＜0时，f（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，f（x）无极值点．

综上所述：当a＜0或a＞4时，f（x）有两个极值点．

解：（1）函数f（x）=x2-2alnx+（a-2）x的导数为：

f′（x）=x-+a-2==，

由于函数f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个不相等的正根，

即有-a＞0且-a≠2，解得a＜0且a≠-2．

则有a的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，0）；

（2）假设存在实数a使得对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，

有＞a恒成立，

不妨设0＜x1＜x2，则f（x2）-ax2＞f（x1）-ax1恒成立．

令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）为增函数．

又函数g（x）=x2-2alnx-2x．

考查函数g′（x）=x--2==．

要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

只要-1-2a≥0，即a≤-，

故存在实数a∈（-∞，]，

对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞a恒成立．