- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设函数f（x）=
（Ⅰ）试问函数f（x）能否在x=-1时取得极值？说明理由；
（Ⅱ）若a=-1，当x∈[-3，4]时，方程f（x）=g（x）有二个不等实根，求c的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）由题意f′（x）=x2-2ax-a，
假设在x=-1时f（x）取得极值，则有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此时，f′（x）=（x+1）2≥0，函数f（x）在x=-1处无极值；
（Ⅱ）f（x）=g（x），则有
∴c=
设F（x）=
令F′（x）=x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
列表如下：
由此可知：F（x）在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数，
当x=-1时，F（x）取得极大值F（-1）=；当x=3时，F（x）取得极小值，
F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=-，
所以-＜c＜或c=-9．
解析
解：（Ⅰ）由题意f′（x）=x2-2ax-a，
假设在x=-1时f（x）取得极值，则有f′（-1）=1+2a-a=0，∴a=-1，
而此时，f′（x）=（x+1）2≥0，函数f（x）在x=-1处无极值；
（Ⅱ）f（x）=g（x），则有
∴c=
设F（x）=
令F′（x）=x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3，
列表如下：
由此可知：F（x）在（-3，1），（3，4）上是增函数，在（-1，3）上是减函数，
当x=-1时，F（x）取得极大值F（-1）=；当x=3时，F（x）取得极小值，
F（-3）=F（3）=-9，而F（4）=-，
所以-＜c＜或c=-9．
已知函数f（x）=
Ac＜
Bc≤
Cc≥
Dc＞
正确答案
解析
解：∵f（x）=
∴f′（x）=x2-x+c，要使f（x）有极值，则方程f′（x）=x2-x+c=0有两个实数解，
从而△=1-4c＞0，
∴c＜
故选：A
（2015秋•宜春期末）已知函数f（x）=lnx-
正确答案
a＞-1
解析
解：f（x）的定义域为（0，+∞），f‘（x）=
所以f'（x）=
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-
因为x=1是f（x）的极大值点，所以-
综合①②：a的取值范围是a＞-1．
故答案为：a＞-1．
设函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设
正确答案
解：（1）f‘（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得
即
解得
（2）由（1）得
故
令h（x）=ex-1-x，则h'（x）=ex-1-1．（9分）
令h'（x）=0，得x=1．（10分）h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：
由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x2≥0，
所以f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．
解析
解：（1）f‘（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），
由x=-2和x=1为f（x）的极值点，得
即
解得
（2）由（1）得
故
令h（x）=ex-1-x，则h'（x）=ex-1-1．（9分）
令h'（x）=0，得x=1．（10分）h'（x）、h（x）随x的变化情况如表：
由上表可知，当x=1时，h（x）取得极小值，也是最小值；即当x∈（-∞，+∞）时，h（x）≥h（1），
也就是恒有h（x）≥0．
又x2≥0，
所以f（x）-g（x）≥0，
故对任意x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x）．
已知a∈R，函数f（x）=-
A（0，1）
B（-2，0）∪（0，1）
C（-2，-
D（-2，1）
正确答案
解析
解：函数f（x）=-
f′（x）=-3x+（4a+2）-
令g（x）=-3x2+（4a+2）x-a（a+2），
由题意可得，g（x）=0在（0，1）内有解．
若g（x）=0只有一解，
则有g（0）g（1）＜0，即-a（a+2）（-a2+2a-1）＜0，
解得-2＜a＜0；
若g（x）=0有两解，
则
解得0＜a＜1．
综上可得a的取值范围是（-2，0）∪（0，1）．
故选B．
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