函数的极值与导数的关系
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题型：单选题

单选题

函数f（x）=x+的极值情况是（　　）

A当x=1时，极小值为2，但无极大值

B当x=-1时，极大值为-2，但无极小值

C当x=-1时，极小值为-2，当x=1时，极大值为2

D当x=-1时，极大值为-2，当x=1时，极值小为2

正确答案

解析

解：函数的定义域为{x|x≠0}

因为f（x）=x+，所以f′（x）=1-

所以f′（x）=1-=0得x=±1

当x＜-1或x＞1时，y′＞0；当-1＜x＜0或0＜x＜1时，y′＜0，

所以当x=-1时函数有极大值-2；当x=1时函数有极小值2．

故选D．

题型：单选题

单选题

函数y=asinx+sin3x在x=处有极值，则a=（　　）

A-6

C-2

正确答案

解析

解：f′（x）=acosx+×3×cos3x=acosx+cos3x，

根据函数f（x）在x=处有极值，故应有f′（）=0，

即acos+cos（3×）=0，

-1=0，a=2．

故选D．

题型：单选题

单选题

已知函数f（x）=ax3+（2a-1）x2+2，若x=-1是y=f（x）的一个极值点，则a的值为（　　）

B-2

正确答案

解析

解：f′（x）=3ax2+2（2a-1）x，

∵x=-1是y=f（x）的一个极值点，

∴f′（-1）=3a-2（2a-1）=0，解得a=2．

此时f′（x）=6x（x+1），

当0＞x＞-1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当x＜-1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．

∴x=-1是函数f（x）的有关极大值点，

因此a=2满足条件．

故选：A．

题型：简答题

简答题

已知函数在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点．

（Ⅰ）求a2-4b的最大值；

（Ⅱ）当a2-4b=8时，设函数y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若在点A处穿过y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．

正确答案

解：（I）因为函数在区间[-1，1），（1，3]内分别有一个极值点，所以f‘（x）=x2+ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，

设两实根为x1，x2（x1＜x2），则，且0＜x2-x1≤4．于是，0＜a2-4b≤16，且当x1=-1，x2=3，即a=-2，b=-3时等号成立．故a2-4b的最大值是16．

（II）解法一：由f'（1）=1+a+b知f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程是y-f（1）=f'（1）（x-1），即，

因为切线l在点A（1，f（1））处穿过y=f（x）的图象，

所以在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是g（x）的极值点．

而g（x）=，且g'（x）=x2+ax+b-（1+a+b）=x2+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）．

若1≠-1-a，则x=1和x=-1-a都是g（x）的极值点．

所以1=-1-a，即a=-2．又由a2-4b=8，得b=-1．故．

解法二：同解法一得=．

因为切线l在点A（1，f（1））处穿过y=f（x）的图象，所以g（x）在x=1两边附近的函数值异号．于是存在m1，m2（m1＜1＜m2）．

当m1＜x＜1时，g（x）＜0，当1＜x＜m2时，g（x）＞0；

或当m1＜x＜1时，g（x）＞0，当1＜x＜m2时，g（x）＜0．

设，则

当m1＜x＜1时，h（x）＞0，当1＜x＜m2时，h（x）＞0；

或当m1＜x＜1时，h（x）＜0，当1＜x＜m2时，h（x）＜0．

由h（1）=0知x=1是h（x）的一个极值点，则．

所以a=-2．又由a2-4b=8，得b=-1，故．

解析

解：（I）因为函数在区间[-1，1），（1，3]内分别有一个极值点，所以f‘（x）=x2+ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，

设两实根为x1，x2（x1＜x2），则，且0＜x2-x1≤4．于是，0＜a2-4b≤16，且当x1=-1，x2=3，即a=-2，b=-3时等号成立．故a2-4b的最大值是16．

（II）解法一：由f'（1）=1+a+b知f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程是y-f（1）=f'（1）（x-1），即，

因为切线l在点A（1，f（1））处穿过y=f（x）的图象，

所以在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是g（x）的极值点．

而g（x）=，且g'（x）=x2+ax+b-（1+a+b）=x2+ax-a-1=（x-1）（x+1+a）．

若1≠-1-a，则x=1和x=-1-a都是g（x）的极值点．

所以1=-1-a，即a=-2．又由a2-4b=8，得b=-1．故．

解法二：同解法一得=．

因为切线l在点A（1，f（1））处穿过y=f（x）的图象，所以g（x）在x=1两边附近的函数值异号．于是存在m1，m2（m1＜1＜m2）．

当m1＜x＜1时，g（x）＜0，当1＜x＜m2时，g（x）＞0；

或当m1＜x＜1时，g（x）＞0，当1＜x＜m2时，g（x）＜0．

设，则

当m1＜x＜1时，h（x）＞0，当1＜x＜m2时，h（x）＞0；

或当m1＜x＜1时，h（x）＜0，当1＜x＜m2时，h（x）＜0．

由h（1）=0知x=1是h（x）的一个极值点，则．

所以a=-2．又由a2-4b=8，得b=-1，故．

题型：简答题

简答题

函数f（x）=x3+mx2+nx（m＞0）在x=1处取到极值：f′（x）的最小值为-4．

（1）求m、n的值及f（x）的单调区间；

（2）试分别求方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有一根；有两根时C的范围．

正确答案

解：（1）由题意得f′（x）=x2+2mx+n=（x+m）2+n-m2，

又f（x）在x=1处取得极值，f′（x）的最小值为-4．

所以，解得m=1，n=-3．

所以f′（x）=x2+2x-3，

由f′（x）=x2+2x-3＞0得：x＞1或x＜-3．

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），

由f′（x）=x2+2x-3＜0得：-3＜x＜1．

∴f（x）的单调递减区间为（-3，1）；

（2）由题意得f（x）=x3+x2-3x，

f（-4）=，f（-3）=9，f（1）=-，

当方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有一根时，c∈[，）∪{9}，

当方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有两根时，c∈[，9）．

解析

解：（1）由题意得f′（x）=x2+2mx+n=（x+m）2+n-m2，

又f（x）在x=1处取得极值，f′（x）的最小值为-4．

所以，解得m=1，n=-3．

所以f′（x）=x2+2x-3，

由f′（x）=x2+2x-3＞0得：x＞1或x＜-3．

∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-3），（1，+∞），

由f′（x）=x2+2x-3＜0得：-3＜x＜1．

∴f（x）的单调递减区间为（-3，1）；

（2）由题意得f（x）=x3+x2-3x，

f（-4）=，f（-3）=9，f（1）=-，

当方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有一根时，c∈[，）∪{9}，

当方程f（x）-c=0在区间[-4，1]上有两根时，c∈[，9）．

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