热门试卷

解：（Ⅰ）∵f（x）=的定义域是（0，+∞），且f′（x）=-+=；

∴①若a≤0，则f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上是增函数，

②若a＞0，令f′（x）=0，得x=a，

当0＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，

∴（0，a）是f（x）的单调减区间，（a，+∞）是f（x）的单调增区间；

综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞），

当a＞0时，f（x）的单调减区间是（0，a），单调增区间是（a，+∞）；

（Ⅱ）a=0时，h（x）=f（x）+g（x）=bx2-2x+2+lnx，

∴h′（x）=bx-2+=，

∵h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点，

由h′（x）=0，得bx2-2x+1=0；

设p（x）=bx2-2x+1，

即p（x）在（0，1）上有且只有一个零点，且p（0）•p（1）＜0，

即（b×02-2×0+1）（b×12-2×1+1）＜0，

解得b＜1；

∴h（x）在（0，1）上有且只有一个极值点时，b＜1；

∴b的取值范围是{b|b＜1}．

解：（I）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，

且f′（x）=-3x2+4x-1，∴f′（2）=-5．

∴曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），

整理得5x+y-8=0．

（Ⅱ）解：f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x，

∴f′（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．

令f′（x）=0，解得或x=a．

由于a＞0，当x变化时，且f′（x）的正负如下表：

因此，函数f（x）在处取得极小值，且；

函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．

（Ⅲ）假设在区间[-1，0]上存在实数k满足题意．

由a＞3，得，由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，

当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．

要使f（k-cosx）≥f（k2-cos2x），x∈R

只要k-cosx≤k2-cos2x（x∈R）

即cos2x-cosx≤k2-k（x∈R）①

设，则函数g（x）在R上的最大值为2．

要使①式恒成立，必须k2-k≥2，即k≥2或k≤-1．

∴在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．