热门试卷

解：（1）∵f′（x）=+x-4，

∴f′（2）=+2-4=0，

∴a=6．

（2）由（1）知，f（x）=6ln（1+x）+0.5x2-4x，x∈（-1，+∞），

∴f′（x）=+x-4=，

当x∈（-1，1）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；

当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，

∴f （x）的单调增区间是（-1，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．

（3）由（2）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，2）内单调减少，在（2，+∞）上单调增加，

当x=1或x=2时，f′（x）=0，

∵f（16）＞162-10×16＞16ln2-9=f（1），f（e-2-1）＜-32+11=-21＜f（3），

∴f（x）的极大值为f（1）=6ln2-3.5，极小值为f（2）=6ln3-6．

又x→-1时，f（x）→-∞，

f（8）=6ln9+0.5×82-4×8=12ln3＞6ln2-3.5．

∴在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，2），（2，+∞），

若直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（2）＜b＜f（1），

∴b的取值范围为（6ln3-6，6ln2-3.5）．

解：（1）∵f（x）=ax2-2lnx，x∈（0，e]，

∴f′（x）=2ax-=，

当x=1时，f（x）取到极值，

∴f′（1）=0，解得a=1；

当a=1时，f′（x）在（0，1）上小于0，

∴f（x）是减函数，

f′（x）在（1，e]上大于0，

∴f（x）是增函数，

∴f（1）是函数的极小值，此时a的值为1；

（2）∵f′（x）=2ax-=，x∈（0，e]，

当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，

∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴（0，e]是单调减区间；

当a＞0时，令f′（x）=0，则=0，∴ax2-1=0，解得x=，

①若a＞，则f′（x）在（0，）上小于0，f（x）是减函数，∴（0，）是f（x）的单调减区间；

f′（x）在（，e]上大于0，f（x）是增函数，∴（，e]是f（x）的单调增区间；

②若a≤，则f′（x）在（0，e]上小于0，f（x）是减函数，∴（0，e]是f（x）的单调减区间；

综上，当a≤时，（0，e]是f（x）的单调减区间；

当a＞时，（0，）是f（x）的单调减区间，（，e]是f（x）的单调增区间．

故当a≤时，f（x）无极值；当a＞时，f（x）有极值．

解（1）由已知得f′（x）=3x2+2ax+b，因为x=1，是极值点，

所以，即，解得．

（2）由（1）得，

所以．令f′（x）=0得．

结合可导函数在闭区间上最值的求法可知，函数的最值必在区间内导数为0或端点处取得．

因为f（-1）=，f（）=，f（1）=c-，f（2）=c+2．

可见最大值为f（2）=c+2．由题意得c+2．即，

即．

解得．

故c的范围是．