- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
设函数f（x）=x3-
正确答案
m＜-2或m＞
解析
解：由于f（x）=x3-
令f′（x）=0，则
又由f（x）在[0，2]上没有零点，则函数在区间[0，2]上恒为正或恒为负
故
故答案为：
已知函数f（x）=x|x+a|-
（1）若a＞0，求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）＞0，求a取值范围．
正确答案
解：（1）
f‘（x）＜0⇒x∈（0，x2）减函数，f'（x）＞0⇒x∈（x2，+∞）增函数，
∴
（2）x＞0，由f（x）＞0得
当0＜x＜1，
当x=1，|1+a|＞0得a≠-1，
当x＞1，不等比等价于
令
令φ（x）=-2x2-1+lnx，
φ（x）在（1，+∞）减函数，φ（x）＜φ（1）=-3＜0，
得g（x）在（1，+∞）减函数，g（x）∈（-∞，-1），
∴
又令
∴
令ψ（x）=-2x2+1-lnx在（1，+∞）减函数，ψ（x）＜ψ（1）=-1＜0，
得h（x）在（1，+∞）是减函数，h（x）＜h（1）=-1，得a≥-1．
综上，a取值范围为：a＞-1．
解析
解：（1）
f‘（x）＜0⇒x∈（0，x2）减函数，f'（x）＞0⇒x∈（x2，+∞）增函数，
∴
（2）x＞0，由f（x）＞0得
当0＜x＜1，
当x=1，|1+a|＞0得a≠-1，
当x＞1，不等比等价于
令
令φ（x）=-2x2-1+lnx，
φ（x）在（1，+∞）减函数，φ（x）＜φ（1）=-3＜0，
得g（x）在（1，+∞）减函数，g（x）∈（-∞，-1），
∴
又令
∴
令ψ（x）=-2x2+1-lnx在（1，+∞）减函数，ψ（x）＜ψ（1）=-1＜0，
得h（x）在（1，+∞）是减函数，h（x）＜h（1）=-1，得a≥-1．
综上，a取值范围为：a＞-1．
求函数
正确答案
解：∵
∴f′（x）=x2-4=（x-2）（x+2）． …3分
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2． …6分
下面分两种情况讨论：
当f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2时；
当f′（x）＜0，即-2＜x＜2时．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
…9分
因此，当x=-2时，f（x）有极大值，且极大值为f（-2）=；
当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=．…12分
解析
解：∵
∴f′（x）=x2-4=（x-2）（x+2）． …3分
令f′（x）=0，解得x=2，或x=-2． …6分
下面分两种情况讨论：
当f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2时；
当f′（x）＜0，即-2＜x＜2时．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
…9分
因此，当x=-2时，f（x）有极大值，且极大值为f（-2）=；
当x=2时，f（x）有极小值，且极小值为f（2）=．…12分
已知三次函数f（x）=
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大、极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7，其中f′（x）是f（x）的导函数，若g（x）的导函数为g′（x），g′（0）＞0，g（x）与x轴有且仅有一个公共点，求
正确答案
解：（1）
令f'（x）=0，∴x1=-2，x2=1，
f极大值=f（-2）=11，
（2）由于g（x）=ax2+bx-6+7=ax2+bx+1（a≠0），
则g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，则b2-4a=0，
则
（当且仅当
则
解析
解：（1）
令f'（x）=0，∴x1=-2，x2=1，
f极大值=f（-2）=11，
（2）由于g（x）=ax2+bx-6+7=ax2+bx+1（a≠0），
则g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，则b2-4a=0，
则
（当且仅当
则
已知函数f（x）=x3+3ax-1，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f‘（x）-6，对任意的-1＜x＜1，都有g（x）＜0成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a≤0时，请问：是否存在整数a的值，使方程f（x）=15有且只有一个实根？若存在，求出整数a的值；否则，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+3a
∴f′（1）=3+3a=6
∴a=1
（Ⅱ）∵g（x）=3x2+3a-6
∴g（x）=3x2+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立．
∴a＜-x2+2在（-1，1）上恒成立．
而-x2+2＞1在（-1，1）上恒成立．
∴a≤1
（Ⅲ）存在
理由如下：
方程f（x）=15有且只有一个实根，
即为函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
由f′（x）=3x2+3a
（1）若a=0，则f′（x）≥0，∴f（x）在实数集R上单调递增
此时，函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
（2）若a＜0，则
列表如下：
∴（f（x）极小值-15）•（f（x）极大值-15）＞0，得：
∴，解得-4＜a＜0
综上所述，-4＜a≤0又a∈Z，
即 a为-3、-2、-1、0．
解析
解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+3a
∴f′（1）=3+3a=6
∴a=1
（Ⅱ）∵g（x）=3x2+3a-6
∴g（x）=3x2+3a-6＜0在（-1，1）上恒成立．
∴a＜-x2+2在（-1，1）上恒成立．
而-x2+2＞1在（-1，1）上恒成立．
∴a≤1
（Ⅲ）存在
理由如下：
方程f（x）=15有且只有一个实根，
即为函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
由f′（x）=3x2+3a
（1）若a=0，则f′（x）≥0，∴f（x）在实数集R上单调递增
此时，函数y=f（x）的图象与直线y=15有且只有一个公共点．
（2）若a＜0，则
列表如下：
∴（f（x）极小值-15）•（f（x）极大值-15）＞0，得：
∴，解得-4＜a＜0
综上所述，-4＜a≤0又a∈Z，
即 a为-3、-2、-1、0．
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