- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
已知函数
（I）若函数f（x）在x=1和x=3处取得极值，试求p，q的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，求证：方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（Ⅲ）若函数f （x）在（一∞，x1）和（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，又x2-x1＞l，且x1＞a，试比较a2+pa+q与x1的大小．
正确答案
解：（I）对函数f（x）求导数，得f‘（x）=x2+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，则
解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=
则g'（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g'（x）＞0；当1＜x＜3时，g'（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x1、x2为函数的两个极值点．
即得x1、x2为方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x1+x2=1-p，x1x2=q
由已知x2＞x1＞a，得x1-a＞0且x2-a＞0
而x2+（p-1）x+q=（x-x1）（x-x2）
则a2+pa+q-a=a2+（p-1）a+q=（a-x1）（a-x2）＞0
∴a2+pa+q-x1=a2+（p-1）a+q+a-x1=（a-x1）（a+1-x2）
∵x2-x1＞l，x1＞a，得x2＞l+x1＞a+l，a+1-x2＜0
∴a2+pa+q-x1＞0，可得a2+pa+q＞x1
解析
解：（I）对函数f（x）求导数，得f‘（x）=x2+（p-1）x+q
由题意，得x=1和x=3是方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，则
解之得p=-3，q=3．
经检验可得p=-3，q=3符合题意．
（II）由（I）得f（x）=
则g'（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3），
当x＜1或x＞3时，g'（x）＞0；当1＜x＜3时，g'（x）＜0
∴函数g（（x）在区间（-∞，1）和（3，+∞）上是增函数；在区间（1，3）上是减函数
由此可得g（1）是g（x）的极大值，而g（3）是g（x）的极小值
∵g（1）=
∴结合g（0）=-1＜0，g（4）=
由以上证明过程，可得方程f（x）=1有三个不同的实数根；
（III）由题意，得x1、x2为函数的两个极值点．
即得x1、x2为方程x2+（p-1）x+q=0的两个实数根，
∴x1+x2=1-p，x1x2=q
由已知x2＞x1＞a，得x1-a＞0且x2-a＞0
而x2+（p-1）x+q=（x-x1）（x-x2）
则a2+pa+q-a=a2+（p-1）a+q=（a-x1）（a-x2）＞0
∴a2+pa+q-x1=a2+（p-1）a+q+a-x1=（a-x1）（a+1-x2）
∵x2-x1＞l，x1＞a，得x2＞l+x1＞a+l，a+1-x2＜0
∴a2+pa+q-x1＞0，可得a2+pa+q＞x1
已知f（x）=ax3-9x2+cx（a＞0），其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），则f（x）的极大值为______．
正确答案
5
解析
解：由题意，f′（x）=3ax2-18x+c
∵导函数的图象经过点（1，0），（2，0），
∴
∴a=2，c=12
∴f′（x）=3ax2-18x+c=6（x-1）（x-2）
∴函数在区间（-∞，1），（2，+∞）上为增函数，在区间（1，2）上为减函数
∴函数在x=1时，f（x）的极大值为5
故答案为：5
对于函数f（x）定义域D内的值x0，若对于任意的x∈D，恒有f（x）≥f（x0）（或f（x）≤f（x0）成立，则称x0是函数f（x）的极值点．若函数f（x）=2sin
正确答案
[
解析
解：∵根据题意得出x0使函数f（x）取得最大值，或最小值，
∴2sin
即
∴x0=
∴列举法求解：；（2k-1）m：m，3m，5m，7m，9m，…
判断得出：
③
依此类推得出后面的都为空集
故答案为：[
设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=
正确答案
解析
解：∵函数f（x）满足
∴
令F（x）=x2f（x），则F′（x）=
F（2）=4•f（2）=
由
令φ（x）=ex-2F（x），则φ′（x）=ex-2F′（x）=
∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2-2F（2）=0．
∴φ（x）≥0．
又x＞0，∴f′（x）≥0．
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
∴f（x）既无极大值也无极小值．
故选D．
（1）求c，d的值；
（2）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=
正确答案
解：函数f（x）的导函数为f‘（x）=3ax2+2bx+c-3a-2b
（1）由图可知 函数f（x）的图象过点（0，3），且f'（1）=0
得
（2）依题意f′（2）=-3且f（2）=5
解得a=1，b=-6
所以f（x）=x3-6x2+9x+3
（3）f′（x）=3x2-12x+9
可转化为：x3-6x2+9x+3=（x2-4x+3）+5x+m有三个不等实根，
即g（x）=x3-7x2+8x-m与x轴有三个交点；
g′（x）=（3x-2）（x-4）
当x∈（-∞，
当x∈（
当x∈（4，+∞），g′（x）＞0
∴g（
当且仅当g（
故-16＜m＜
解析
解：函数f（x）的导函数为f‘（x）=3ax2+2bx+c-3a-2b
（1）由图可知 函数f（x）的图象过点（0，3），且f'（1）=0
得
（2）依题意f′（2）=-3且f（2）=5
解得a=1，b=-6
所以f（x）=x3-6x2+9x+3
（3）f′（x）=3x2-12x+9
可转化为：x3-6x2+9x+3=（x2-4x+3）+5x+m有三个不等实根，
即g（x）=x3-7x2+8x-m与x轴有三个交点；
g′（x）=（3x-2）（x-4）
当x∈（-∞，
当x∈（
当x∈（4，+∞），g′（x）＞0
∴g（
当且仅当g（
故-16＜m＜
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