热门试卷

解：（Ⅰ）当a=1时，，f（0）=．

∵=，

∴f′（0）=0．

则曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；

（Ⅱ）由f（x）=，得

=．

由f′（x）=0，得x1=0，x2=2-a，

∵a≤2，

∴2-a≥0．

当a=2时，，

∴f（x）在（-∞，+∞）上递减，无极值；

当a＜2时，2-a＞0，f（x）在（-∞，2），（2-a，+∞）上递减，在（0，2-a）上递增；

∴f（2-a）=（4-a）ea-2为f（x）的极大值，

令u（a）=（4-a）ea-2（a＜2），则u′（a）=（3-a）ea-2＞0，

∴u（a）在（-∞，2）上递增，

∴u（a）＜u（2）=2，

∴不存在实数a，使f（x）的极大值为2．

解：（1）当a=时，f（x）=x2-x+lnx，

f′（x）=x-+=，

则x∈（0，），（2，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（，2）时，f′（x）＜0；

即，f（x）在（0，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减．

（2）令g（x）=f（x）+a+=x2-（a+2）x+2alnx+a+，

=

又∵0＜a＜1，

∴g（x）在（0，a），（2，+∞）上单调递增，在（a，2）上单调递减．

又∵g（1）==0，

∴g（a）＞0，g（2）＜0

又∵g（3）=

=2a（ln3-1）＞0，

则函数g（x）在（0，a），（2，+∞）内分别有一个零点．

综上所述，则函数g（x）一共有三个零点，

因此方程f（x）+a+=0根有3个．

解：（Ⅰ）由题意知，所以f′（x）=2x2-3

又f（3）=9，f′（3）=15

所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程为15x-y-36=0…（4分）

（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即

设，则

当时，g‘（x）＞0；当时，g′（x）＜0

所以当时，g（x）取得最大值

故实数a的取值范围为．…（9分）

（Ⅲ）f′（x）=2x2-4ax-3，，

①当时，∵

∴存在x0∈（-1，1），使得f′（x0）=0

因为f′（x）=2x2-4ax-3开口向上，所以在（-1，x0）内f′（x）＞0，在（x0，1）内f′（x）＜0

即f（x）在（-1，x0）内是增函数，f（x）在（x0，1）内是减函数

故时，f（x）在（-1，1）内有且只有一个极值点，且是极大值点．…（11分）

②当时，因 

又因为f′（x）=2x2-4ax-3开口向上

所以在（-1，1）内f′（x）＜0，则f（x）在（-1，1）内为减函数，故没有极值点…（13分）

综上可知：当，f（x）在（-1，1）内的极值点的个数为1；当时，f（x）在（-1，1）内的极值点的个数为0．…（14分）