热门试卷

解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，所以y=f（x）的图象恒过定点（1，1）；

（2）当a=-1时，，x＞0，

则=

经观察得f′（x）=0有根x=1，

令g（x）=x2+lnx-1，

当x＞0时，g′（x）＞0，

即y=g（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．

所以f′（x）=0有唯一根x=1．

当x∈（0，1）时，，f（x）在（0，1）上是减函数；

当x∈（1，+∞）时，，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

∴x=1是f（x）的唯一极小值点．极小值是．

解：（I）．令f‘（x）=0，得x=2

当x变化时，f'（x）与f（x）变化情况如下表：

∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2-2ln2．

（Ⅱ）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减函数；a＞0时，f（x）在（0，）上是减函数，

在（）上是增函数．

（Ⅲ）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=，

F'（x）=，

所以F（x）为增函数，F（x）max=F（e）．

依题意需F（e）＞0，解得．所以a的取值范围是．

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx-3，

因为f（x）在x=1和x=3处取得极值，

所以x=1和x=3是f′（x）=0的两个根，…（2分）

∴，∴…（5分）

（Ⅱ）g′（x）=-x2+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）

当x变化时，g′（x），g（x）变化情况如下表：

由上表可知：g（x）极大值=g（3）=t；…（9分）

∵=，∴由此可知x取足够大的正数时，有g（x）＜0；x取足够小的负数时，有g（x）＞0，…（10分）

因此，为使曲线y=g（x）与x轴有两个交点，结合g（x）的单调性，

必有：g（x）极大值=g（3）=t=0，或，∴t=0或

所以存在t且t=0，或…（12分）