- 函数的极值与导数的关系
- 共7619题
函数f（x）=xlnx-ax2-x（a∈R）．
（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象在直线y=-x图象的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（2×3×…×2015）
正确答案
解：（I）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx-2ax，
因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=0，即-2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x=1处取得极值．
所以a=0．
（II）由题意，得xlnx-ax2-x＜-x，即xlnx-ax2＜0恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以a＞
设h（x）=
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上为增函数；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上为减函数；
所以h（x）max=h（e）=
所以a＞
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2015＜2015，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+…+ln2015＜1+2+3+…+2015，
所以ln（1×2×3×…×2015）＜
所以ln（2×3×…×2015）
解析
解：（I）函数定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx-2ax，
因为f（x）在x=1处取得极值，
所以f′（1）=0，即-2a=0，解得a=0，．
所以f′（x）=lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在x=1处取得极值．
所以a=0．
（II）由题意，得xlnx-ax2-x＜-x，即xlnx-ax2＜0恒成立，
因为x∈（0，+∞），所以a＞
设h（x）=
令h′（x）＞0，得0＜x＜e，所以h（x）在（0，e）上为增函数；
令h′（x）＜0，得x＞e，所以h（x）在（e，+∞）上为减函数；
所以h（x）max=h（e）=
所以a＞
（III）由（II）知：h（x）≤h（e）=
所以ln1＜1，ln2＜2，ln3＜3，…，ln2015＜2015，
以上各式相加，得ln1+ln2+ln3+…+ln2015＜1+2+3+…+2015，
所以ln（1×2×3×…×2015）＜
所以ln（2×3×…×2015）
已知函数
正确答案
解析
依题意知，方程y'=0有两个根x1、x2，且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），
构造函数f（x）=x2+mx+
∴
∵直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=loga（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＜loga（-1+4）
∴loga3＞1，解得a＜3
又∵a＞1，
∴1＜a＜3，
故选B．
设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x1=-1，x2=2，求函f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2
正确答案
解：（1）f‘（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．
∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x3-9x2-36x…（4分）
（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（x1）=f'（x2）=0．
∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根．
∴
∵△=4b2+12a3，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．
∵a＞0，∴x1•x2＜0．
∴
由
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴3a2（6-a）≥0，
∴0＜a≤6…（8分）
令h（a）=3a2（6-a），则h'（a）=-9a2+36a．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）内是减函数．
∴当a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是
解析
解：（1）f‘（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）．
∵x1=-1，x2=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0．
∴3a-2b-a2=0，12a+4b-a2=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x3-9x2-36x…（4分）
（2）∵x1，x2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（x1）=f'（x2）=0．
∴x1，x2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根．
∴
∵△=4b2+12a3，
∴△＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．
∵a＞0，∴x1•x2＜0．
∴
由
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴3a2（6-a）≥0，
∴0＜a≤6…（8分）
令h（a）=3a2（6-a），则h'（a）=-9a2+36a．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（4，6）内是减函数．
∴当a=4时，h（a）有极大值为96，
∴h（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值是
已知函数f（x）=x-alnx+
（I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．
正确答案
解：（Ⅰ）f′（x）=1-
∵函数f（x）=x-alnx+
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）=
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．
①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
②当a=2时，f′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．
解析
解：（Ⅰ）f′（x）=1-
∵函数f（x）=x-alnx+
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
由（Ⅰ）可得f′（x）=
令f′（x）=0，则x1=1，x2=a-1．
①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a-1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1，a-1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a-1，+∞）；单调递减区间为（1，a-1）．
②当a=2时，f′（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1-a）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（1-a，1）时，f′（x）＜0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1-a），（1，+∞）；单调递减区间为（a-1，1）．
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．
正确答案
依题意
又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x3-3x
（Ⅱ）设切点为（x0，x03-3x0），
∵f'（x）=3x2-3∴f'（x0）=3x02-3
∴切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）
又切线过点A（2，m）
∴m-（x03-3x0）=（3x02-3）（2-x0）
∴m=-2x03+6x02-6
令g（x）=-2x3+6x2-6
则g'（x）=-6x2+12x=-6x（x-2）
由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2
画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）．
解析
依题意
又f'（0）=-3∴c=-3∴a=1∴f（x）=x3-3x
（Ⅱ）设切点为（x0，x03-3x0），
∵f'（x）=3x2-3∴f'（x0）=3x02-3
∴切线方程为y-（x03-3x0）=（3x02-3）（x-x0）
又切线过点A（2，m）
∴m-（x03-3x0）=（3x02-3）（2-x0）
∴m=-2x03+6x02-6
令g（x）=-2x3+6x2-6
则g'（x）=-6x2+12x=-6x（x-2）
由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）极小值=g（0）=-6，g（x）极大值=g（2）=2
画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x3+6x2-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）．
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