热门试卷

解：（Ⅰ），f‘（x）=0解得x=e．

f'（x）＞0解得0＜x＜e，此时f（x）为增函数，

f'（x）＜0解得e＜x，此时f（x）为减函数．

所以f（x）在x=e取极大值．

（Ⅱ）等价于lnx-kx2-2x-3k≥0，

设函数g（x）=lnx-kx2-2x-3k（x≥1），所以g（1）≥0．

．

当时，设h（x）=-2kx2-2x+1，其开口向上，对称轴，

h（1）=-2k-1≥0，所以h（x）≥0恒成立．

所以g'（x）≥0恒成立，即g（x）在x≥1上为增函数，

所以g（x）≥g（1）=0．

所以实数k的取值范围为．

解：（Ⅰ），（x＞0），…2’

由已知f‘（4）=0得，，解得a=16．…4’

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x2-12x+b，x∈（0，+∞），

令 =0，解得 x=2或 x=4．

当x∈（0，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，4）时，f′（x）＜0；x∈（4，+∞）时，f′（x）＞0．

所以f（x）的单调增区间是（0，2），（4，+∞）；f（x）的单调减区间是（2，4）．…8’

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，4）内单调递减，在（4，+∞）上单调递增，

且当x=2或x=4时，f′（x）=0．

所以f（x）的极大值为f（2）=16ln2-20+b，极小值为f（4）=32ln2-32+b．…10’

当且仅当f（4）＜0＜f（2），y=f（x）有三个零点．…12’

由 32ln2-32+b＜0＜16ln2-20+b，解得 20-16ln2＜b＜32-32ln2，

所以，b的取值范围为（20-16ln2，32-32ln2）．…14’

解：（Ⅰ） ，x∈（0，e]．

由已知f‘（1）=2a-2=0，解得a=1，此时．

在区间（0，1）上，f′（x）＜0；在区间（1，e）上，f′（x）＞0．

∴函数f（x）在x=1时取得极小值．

因此a=1时适合题意．

（Ⅱ） ，x∈（0，e]．

1）当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，e]上是减函数．

2）当a＞0时，．

①若，即，

则f（x）在上是减函数，在上是增函数；

②若，即，则f（x）在（0，e]上是减函数．

综上所述，当时，f（x）的减区间是（0，e]，

当时，f（x）的减区间是，增区间是．

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知：当x=时，函数f（x）取得最小值，且．

∵g（x）=-5，∴函数g（x）在区间（0，e]上单调递增．

∴当x=e时，函数g（x）取得最大值，且g（x）max=g（e）=-4-lna．

∵存在x1，x2∈（0，e]，使得|f（x1）-g（x2）|＜9成立，

∴必有对于x∈（0，e]，|f（x）min-g（x）max|＜9．又∵，

联立得，解得．

∴a的取值范围是．